Le système

x sin « 4- y sin 2a 4- * sin 3a = sin 4a, a? sin 6 4~ */ sin 2b -\- z sin 36 = sin 4b, x sin c 4~ y s^n 2c -\- z sin 3c = sin 4c,

a pour solution

3? = 8 cos a cos 6 cos c -\- 2(cos a 4- cos b 4- cos c), y == 4 (cos a cos b 4- cos 6 cos c f- cos c cos a) — 2,

^ = 2(cos a 4- cos 6 4- cos c).

3. Trouver une relation entre les cosinus des angles d'un triangle. On élimine a, b, c entre les relations a — b cos C -\ c cos B, etc.

4. Trouver une relation entre le centre et quatre points d'une conique. Si le centre est l'origine des coordonnées, la relation cherchée est

Pour l'interpréter géométriquement, on observe (pie les mineurs relatifs

à la 4e colonne sont égaux à - 0A„A3 . OA3A4 . OA4A2, etc.

5. Relation entre un foyer et quatre points d'une conique. On trouve 2 ± FAj . A2A3A4 = 0.

6. Conditions pour que les normales en trois points A^a?^'^), A2[x.,,//J, A3(x3, y3) d'une parabole (y2 = 2px) passent par un même point

Cette condition se présente sous la forme I 1 y, y;//i ~\~ œi2/\ == 0» on peut la ramener à yl -|- y2 -j- y3 = 0, ou à j œ\ 4- y\ xx y, — 0.

Donc, le centre de gravité du triangle AjA2A3 est sur l'axe de la parabole, et la circonférence circonscrite passe par le sommet de la conique.

7. Condition pour que cinq points soient sur une même hyperbole équilatère.

Réponse: oc\—y\ xlyl œl y, 1 | =-= Ô.

to\V\

yl

yl

XtyA

yl

s. Condition pour que six points soient sur une même conique. Réponse : oc\ .v,?/, y\ œl //, 1 = 0.

On obtient une équation plus simple en prenant trois des points pour sommets d'un triangle <le référence.