PREMIERS ELEMENTS DE LA THEORIE DES FONCTIONS. FONCTIONS ENTIÈRES

Sur les limites.

84. Définitions. — On appelle limite d'une quantité variable x une quantité constante a telle, que la différence a — .v, prise en valeur absolue, finisse par devenir et l'ester inférieure à une quantité ; donnée à l'avance, si petite qu'elle soit. La variable .v dont on cherche la limite, est toujours fonction d'une ou de plusieurs variables indépendantes qui tendent vers des valeurs inaccessibles ; c'est pourquoi la limite a n'est pas une valeur même de .v.

Une variable x est dite avoir une limite infinie, lorsque sa valeur absolue peut devenir et rester plus grande que toute quantité donnée, le signe de .v étant constant.

Si la variable n'a ni limite finie ni limite infinie, on dit quelquefois qu'elle a une limite indéterminée.

Pour généraliser certains théorèmes, on dit que la limite d'une constante est cette constante même.

On appelle infiniment petit une variable qui a pour limite zéro.

Exemples. — T. Considérons la progression géométrique

«, aq, aq2, ....

La somme des n premiers termes a pour expression

Q aqn — a a aqn

Examinons comment varie S lorsque n croît indéfiniment, a étant supposé positif.

Si la raison q est positive et moindre que l'unité, la quantité

£LQn

peut devenir et rester aussi petite qu'on veut. Le terme 1 — q

,— étant indépendant de /i, S croît vers une limite égale à 1 — Q

ciïïn

Supposons q compris entre 0 et — 1 ; la quantité -} — - — est

positive ou négative suivant que n est pair ou impair, mais sa

valeur absolue tend vers zéro. Donc S oscille autour d'une

limite -.

Lorsque q > 1, S a une limite infinie.

Si q = — 1 , on a

donc S a la valeur a ou 0 suivant que n est impair ou pair. Par suite, pour n croissant indéfiniment, la limite de S est indéterminée.