II. Considérons la fonction

Si x prend les valeurs positives et indéfiniment croissantes, y décroît constamment vers la limite 2.

Pour des valeurs négatives de x, de module indéfiniment croissant, y croit vers la limite 2.

La valeur x ==■ S est inaccessible parce que le quotient d'un nombre par 0 n'a pas de signification. Mais si l'on fait croître A'

de 2 vers .'>. y passe par des valeurs négatives^ de module indéfiniment croissant, et l'on dit que y a pour limite — oo. Au contraire, si x décroît de 4 vers 3, y prend des valeurs posi tives, indéfiniment croissantes, et l'on dit que y a pour

limite f °°-

85. Nombres incommensurables. — Dans la théorie des nombres incommensurables, la notion de limite se présente sous une l'orme particulière (pie nous expliquons d'abord sur deux exemples assez simples.

Soit à mesurer la longueur AB, l'unité étant CD (fig. io).

Fisr. io.

Si AB contient /; fois CI), on dit que la mesure est l'entier p.

Si AB contient p fois de CD, la mesure est la fraction - ■

Mais il peut arriver que pour aucune valeur de q, de CD ne

soit contenu exactement dans AB. On dit alors que AB est incommensurable avec CD, ou que le rapport AB : CD est irrationnel, en entendant par là qu'il n'existe pas de nombre entier ou fractionnaire exprimant la mesure de AB au moyen de l'unité CD.

Partageons CD en q parties égales et portons l'une de ces parties autant de fois que possible sur AB. Si p de ces parties donnent la longueur AE < AB et qu'une partie de plus donne

AF *> AB, il est naturel de dire que la mesure de AB est- par

deiaut, - par excès, a moins de

Prenons maintenant pour q successivement des nombres

#11 cl^ ?3i •••

croissant indéfiniment d'après une loi quelconque, par exemple qx = 10, q2 = 100, q3 = 1000, etc. ; nous désignons par En F,, E2, F.,, E3, F3, ... les positions correspondantes des points E, F,

et parp,, p2, p3, ... les valeurs correspondantes de />. Nous avons alors les deux suites de longueurs