AE15 AE2, AE
APlf AF2, AF3, ... 1 avant respectivement pour mesure
Pi Pi Jh \
Pi + 1 j p-i + l ; Ps + 1,
Comme les segments E^, E2F2, E3F3, ... contiennent toujours le point B et diminuent indéfiniment, les différences AB — AEj, AB — AE2, ...et AFj — AB, AF, — AB, ...peuvent devenir cfc rester aussi petites qu'on veut. On peut donc dire que AB est la limite des longueurs (1) commensurables avec AB.
Les nombres (2) n'ont pour limite aucune fraction \ ; autrement, si l'on prenait sur AB la longueur AU = c. CD, les points
Ex, Fj, E2, F2, ... devraient s'approcher indéfiniment à la fois de deux points distincts B et G.
Cependant, on convient de dire que les nombres (2) admettent pour limite un certain nombre incommensurable, mesure de la longueur AB.
Remarques. — I. La définition que l'on a donnée ci-dessus de la limite, est applicable aux suites (1), parce que la différence entre AB et un terme de ces suites est assignable géométriquement. Mais elle ne s'applique pas aux nombres (2) ; car la mesure de AB n'est définie que par les suites (2) elles-mêmes, de sorte que la différence entre la limite et la quantité variable n'a pas encore de sens.
II. Si (j, - iiu]} {m entier), le segment E2F2 est intérieur au
CD segment E,F,. Car si Ton porte sur AX la longueur -» un
11 L * mql
point de division tombe en El5 un autre en Ft puisque AEt,
CD AF, contiennent pj et (px + 1) fois - — ou mpl et m(pl -f- 1) fois
, et il tombera encore au moins un point de division entre mql
E2 et Fu
Une suite de nombres est dite monotone lorsque ses termes ne sont pas tantôt croissants, tantôt décroissants; autrement dit, les termes vont constamment en croissant ou constamment en décroissant à moins ({ne deux termes consécutifs ne soient égaux. Par exemple, les valeurs approchées par défaut on par excès du nombre décimal 0,69034 ... forment les deux suites monotones
Si les nombres q.z, q3y q4, ... sont respectivement des multiples des nombres qx , q2, f/3, ... chacune des suites (2) est monotone. Il en est ainsi quand on prend ql — 10, q2 = 100, ç3-1000, ....
86. Il n'existe pas de nombre entier ou fractionnaire dont le carré égale 7. Mais on peut trouver des fractions dont, les carrés diffèrent de 7 aussi peu qu'on veut.
En effet, soit p2 le plus grand carré entier contenu dans le nombre lq2 ; nous aurons
p2 < 1er < (P + i)2, d'où ïj : 7 < ^, } •
D'après cette double inégalité, il est naturel de dire que la
racine carrée de 7 est " par défaut, par excès, à moins
de1-
On a, d'ailleurs,
car £ - < 9, d'où - < 3; à pins forte raison T (1
7^<6+l, J£±JH 7<5+». (3)
Cela posé, si nous donnons à q des valeurs
qu 9i, 2s> •••
qui croissent indéfiniment d'après mie loi quelconque, nous obtenons deux suites infinies de fractions
Pi t
/vl 1 }
Hi
Les carrés de ees fractions ont pour limite le nombre 7 , ainsi qu'il résulte des inégalités (3). D'après eela, on convient de dire
que la racine carrée de 7 est la limite des nombres (4) dont les carrés ont pour limite le nombre 7.
Remarque. — On peut faire ici des remarques analogues à celles du § 85.
