Pour généraliser, considérons deux suites infinies

als «,, a3, ... [a)

bu b2, b3, ... (b)

jouissant des propriétés suivantes : tout nombre de la suite (a) est moindre qu'un nombre quelconque de la suite (b), et la différence bn — an de deux termes correspondants peut devenir et rester moindre qu'un nombre donné, si petit qu'il soit.

Deux cas peuvent se présenter :

1° Il existe un nombre X (entier ou fractionnaire) plus grand que tout nombre de la suite («) et plus petit que tout nombre de la suite (h;. Alors les différences X — an et bn — X, moindres que bn — c*n, ont pour limite zéro quand n croît indéfiniment ; par conséquent, les suites (a) et (b) admettent une limite commune X (84).

*^. S'il n'existe pas un tel nombre, on dit que les suites {a\ et (b) définissent un nombre d'une espèce nouvelle ; ce nombre est irrationnel ou incommensurable . Si on le représente par un symbole quelconque, par exemple par X, on dit que X est supérieur à an et à tout nombre plus petit que an, inférieur à bn et à tout nombre plus grand que bn ; que les différences X — an et /;n — X sont moindres que /;n — an; enfin, que X est la limite des deux suites (a) et [b) ou que ces suites convergent vers X.

La représentation géométrique explique très bien ce langage. En effet, portons sur un axe ox (flg. u) les abscisses

OAx = ax , OAe = a2, ..., 01^ = blt OB2 = £2, ....

Les points A,, A .., A,, ... couvrironl une région de Ox sur laquelle ne pénètre aucun des points H,, IL, ,..; de même

Fie. ii.

A] a'2 Ag B3 \u

ceux-ci couvriront une région ne renfermant aucun des points A,, A.,, ... Entre ces deux régions, il n'existera aucun Intervalle fini, car la distance A,,Bn doit pouvoir devenir moindre que cet intervalle: il en résulte que les deux régions sont séparées par un simple point de démarcation L, et que les longueurs OAp OA>, ... et OB,, OB2, ... ont une limite commune OL. Le nombre, commensurable ou incommensurable, qui mesure OL, est la limite commune des nombres des deux suites (a) et (b).