Opérations sur les nombres incommensurables

Soient À, À' deux nombres incommensurables définis respectivement par les suites

j au ai< a$> ••• \ cv c2, c3,

I K b2, b3, ... / du (/,, f/3, ...

On suppose, comme ci-dessus, que an < bp, rn • dv pour toutes les valeurs de n et de p, et que les différences bn — a,;, dn — cn tendent vers zéro à mesure (pie n croît. Les deux suites

( a} -f- cu a, I- c2, a3 -f c3, ...

définissent également un nombre ; car tout nombre de là première est moindre que tout nombre de la seconde, et la différence (bn -f dn) — (an + Cti) peut devenir et rester aussi petite qu'on veut. Le nombre, commensurable ou incommensurable, qui est défini par ces suites, est appelé la somme X | À'.

La différence X — À', le produit XX', le quotient /,- sont définies

respectivement au moyen des doubles suites :

\ al — g?!, a2 — d2, a3 — ch,

/ />//[, />,//., b.adSl ...

«j #2 rt3

i bx h., b2

' Cl f'2 C3

Les autres opérations peuvent être définies d'une manière analogue.

89. Théorème. — Lorsqu'une variable x croît sans cesse. sans pouvoir dépasser un nombre donné «, elle a une limite égale ou inférieure à a.

Soient

l'li 2 ' 3 ' * * *

les valeurs successives de x. Prenons sur un axe Ox les

abseisses

OA = a, OA} = al5 OA2 = a2i OA3 = r<3,

Par hypothèse, les points Alf A2, A3, .. avancent constamment dans le sens OA. Si la distance AnA peut devenir et l'ester aussi petite qu'on veut, a* a pour limite a. S'il n'en est pas ainsi, divisons OA en /) parties égales ; nous pourrons distinguer une dernière BC de ees parties sur laquelle passe l'extrémité de l'abcisse.v; autrement dit, il existe une valeur de n telle (pie les points An, An+n An~i-2, ... sont tous situés sur le segment BC. Divisons ensuite BC en p parties égales; nous distinguerons encore une dernière B^ de ces parties sur laquelle passe l'extrémité de l'abcisse x. En continuant ainsi, nous obtenons des segments BC, BjC^ B2C2, ... dont chacun comprend le suivant et qui décroissent indéfiniment. Comme il ne peut exister qu'un point de démarcation L entre la région des points B, Bn B2, ... et celle des points Clt C2, C3. ..., la variable x a une limite représentée par OL.

90. Théorème. — Lorsqu'une variable x décroit sans cesse, sans devenir plus petite qu'un nombre donné %, elle a une limite égale ou supérieure à a.

Cette proposition se démontre comme la précédente.

- cSl -

Remarque. — Nous ne Taisons qu'énoncer ici un caractère plus général de convergence des suites infinies de nombres, caractère qui renferme les deux précédents (89, 90) comme cas particuliers.

Pour qu'une suite indéfinie de nombres

il ] , Cl. 2 , (In , ...

soit convergente ou ait une limite, déterminée, il faut et il suffît <iue pour chaque valeur de z, quelque petite qu'elle soit, il existe une videur de n telle (pie ion ait

dp #q < E,

pour toutes les valeurs de p et de q supérieures à n. Théorèmes sur les limites.

91. Théorème. — La limite de la somme algébrique cVun nombre déterminé de variables est égale à la somme algébrique des limites de ces variables.

Soient x, y, c- les valeurs simultanées de trois variables (*), et a, b, c leurs limites. On peut poser

a, j3, y étant des nombres dont les valeurs absolues deviennent et restent aussi petites qu'on veut. On eu déduit, par exemple,

Comme chacun des nombres a, j3, y peut devenir et rester

moindre, en valeur absolue, que ., i quelque petit que soit s,

a -|- 3 — y peut rester moindre que s; donc x -\- y — z tend

vers une limite égale à a \ - b — c, et l'on peut écrire

lim [x -f- y — z) — a -f- b '— c = lim a; -j- lim y — li i^i z.

Remarques. — I. Le théorème précédent n'a pas de sens lorsque la somme algébrique des limites se présente sous la l'orme oo — oo.

' Elles sont supposées dépendre d'une ou de plusieurs variables indépendantes qui, elles-mêmes, tendent vers des valeurs inaccessibles.

NEUBERG. — Algèbre 6

ÏI. Il peut être en défaut lorsque le nombre des variables croît indéfiniment à mesure que chacune d'elles tend vers sa limite. Par exemple, il n'est pas applicable à la somme

pour n — oo. Car cette somme composée de n nombres supé-

rieurs a ~- » est plus grande que p- ou ^ ; cependant chaque

terme a pour limite 0.

92. Théorème. — La limite du produit d'un nombre déterminé de variables est égale au produit de leurs limites.

En effet, on a, avec les notations précédentes,

xyz = abc -f- û&Y + ••• -h a$Y -h ••• + a?y- Les termes qui suivent abc, sont en nombre déterminé et tendent vers zéro (*); doue leur somme tend vers zéro (91), et l'on a

lim {xyz) = abc = lim x x lim y x lim ^.

Remarques. — E. Le théorème n'a plus de sens lorsque le produit des limites se présente sous la forme 0 . oo ou oo . 0.

II. Il peut être en défaut lorsque le nombre des facteurs augmente à mesure que les facteurs tendent vers leurs limites.

Considérons, par exemple, le produit

qui a la valeur constante ~« Quand/? croît indéfiniment, le nombre des facteurs augmente et chacun d'eux tend vers l'unité; mais le produit n'a pas pour limite l'unité.

93. Théorème. — Le quotient de deux variables x, y qui tendent vers des limites a, b, a pour limite j •

(*) Si u est une variable qui tend vers zéro, le produit mu tend également vers zéro. Car | n | devient et reste moindre que tout nombre donné s; par conséquent | mu | reste moindre que me, et l'on peut avoir mi < z'} quelque

petit que soit Ê' ; il suffit de supposer s < — •

On démontre encore facilement que si u a pour limite u, mu a- pour limite ma.

— ns -

Posons x = a | a, r b \- fi; nous aurons

y~ b "= h \ p ~~b '' b(b | - [ii' M

A partir de certaines valeurs de .v et y, la valeur absolue de y.b — aj3 reste intérieure à un nombre donné s, et la quantité b b j- 3) reste supérieure à //, b' désignant nn nombre fixe quel-

conque plus petit que bz ; la fraction , . —restant inférieure.

bb -f- |3) '

en valeur absolue, à .", » on a

,. '• rt 1 lui x lim = - - = = .

y '> Inn//

Remarque. — Le tliéorème précédent n'a pas de sens lorsque le

quotient se présente, à la limite, sous Tune des formes ou - •

0 oo

94. Théorème. — Si la variable x tend vers une limite a, xm a pour limite am.

1° Si m est entier et positif, xm est le produit de m facteurs égaux à .i' ; doue (92 ) lim xm = a . a ... a = «m.

2° Si m = — /;, p étant entier et positif, on a (93 j

lim a?P == lim - = am.

3° Soit in = - i n étant entier et positif. On a /)

= lVr — \a){\œP-1 -f- V'.'-p 2a -f ... -f- \" «P"V;

d'où

p p/ ■ py

y ,rP-i j \/œj>-ta -f. ... -f yap i

Soit /; un nombre fixe quelconque inférieur à a; à partir d'une certaine valeur, x qui a pour limite a finit par rester plus grand que b et x — a par rester inférieur à un nombre donné s, quelque petit qu'il soit.

Donc, à partir de cette valeur on a

on en conclut que lim \x = \a.

A° Soit m=-ijt) et q étant entiers; nous aurons P

lim œm = lim (y a?) = (lim \or) = \\ a) = am .

Remarques. — I. On peut encore démontrer que

lim cx — clims, lim (log œ) — log (lim x), lim oo? = (lim .r)lim>\

La dernière égalité est illusoire si le second membre se pré-

oo sente sous l'une des formes 0°, oo°, 1

II. Si les variables x, y, ... tendent vers les limites a, b, ...,

la fonction f(x, y, ...) a généralement pour limite fin, b, ...).

Propriétés des ponctions entières. — Continuité.

95. Théorème. — Pour toutes les valeurs positives ou négatives de la variable, de module suffisamment grand, une fonction entière réelle a le signe du terme de degré le plus élevé.

Soit la fonction à coefficients réels

F(,rj = A0xm + A^m-1 -f ... -|- A On a

M =1 + A.I+A!Jk + ...+ Aal. (1)

Considérons d'abord les valeurs positives de x. Si tous les termes du second membre de (1) sont positifs, F(.v] a constamment le signe de A0.vm. S'il n'en est pas ainsi, désignons par

B, Bg Bn

les termes négatifs. La somme de leurs valeurs absolues sera moindre que le premier terme 1 si x satisfait aux inégalités

B, 1 B., 1 Bn 1

a;-1 il a?b m a;1 n