V-nB, Y^B, VnBn

Donc si -/ désigne la plus grande des quantités \/ nRx ,

\ /di, ... , P(ac) a le signe de A.0xm pour x < -

Le cas des valeurs négatives se ramène au précédent en considérant la fonction F( - x),

97. Continuité des fonctions réelles. — Si l'on considère successivement deux valeurs d'une variable indépendante ou

dépendante, la différence entre la seconde valeur et la première est appelée accroissement de cette variable; elle peut être positive ou négative. Par exemple, si ,v0 et ,v0 | h sont deux valeurs successives de .v, l'accroissement de x est /?, et celui d'une fonction F(x) est F(x0 -h h) — F(.v0).

Soit F(x) une l'onction avant pour toute valeur de «v comprise entre deux nombres déterminés <•/ et b une valeur finie et déterminée, et soit x0 un nombre appartenant à l'intervalle (a, b). On dit que la fonction f(x) est continue pour la valeur x = x,, ai l accroissement F(x0 -j- h) — F(x0) a pour limite zéro quand h tend vers zéro cV après une loi quelconque. Autrement dit, à tout nombre positifs, quelque petit qu'il soit, doit correspondre un nombre u tel, que Ton ait

pour toutes les valeurs de h comprises — - -r, et [ r,.

La fonction F(x) est dite continue duus l'intervalle (a, 1) . lorsqu'elle est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, quelle est finie et déterminée pour x = a et x = b, et que F (a -f- h), F(b — li) ont pour limites F(a), F(b), h désignant un nombre positif qui tend vers zéro.

Dans l'étude d'une fonction F(,v), la variable indépendante .v est supposée croître d'une manière continue de — oo à -| oo, à la manière de l'abscisse d'un point qui parcourt d'une manière continue tout l'axe des ,v dans le sens des abscisses positives.

98. Discontinuités. — Une fonction réelle peut être discontinue de trois manières : en devenant imaginaire, infinie, ou en sautant brusquement d'une valeur finie à une autre valeur finie.

Exemples. — I. La fonction

d'après nos définitions, est continue dans l'intervalle ( — 1. \ 1;, où elle est réelle. On dit qu'elle est discontinue pour x = -j- li parce qu'elle est imaginaire pour x — 1 -\- h; de même elle est discontinue pour .v — 1 comme étant imaginaire pour * = — 1— h.

1 1 . La fonction

est dite discontinue pour la valeur x 1 qui la rend infinie. Elle es1 continue dans tout intervalle ne comprenant pas l'unité. H!. La fonction

où nous supposons a > 1, est discontinue par saut brusque pour x 1. En effet, soit s un nombre positif aussi petit qu'on veut. Pour x 1 |- s on trouve

pour x = 1

Donc, lorsque .v passe par la valeur 1, y passe brusquement de 1 à 0.

99, Théorème. — La somme, ou le produit, de plusieurs fonctions continues, est aussi une fonction continue.

Cette propriété résulte de la définition des fonctions continues et des propositions sur la limite des sommes ou des produits de quantités variables en nombre fini.

F(x) Remarque. — Le quotient fK ' de deux fonctions continues

varie d'une manière continué tant que le dénominateur ne passe pas par zéro.

Une puissance entière d'une fonction continue est elle-même continue. Si m est pair, la racine me d'une fonction continue esi continue pourvu que l'on considère la racine m° arithmétique dans un intervalle où la fonction reste positive; si m est impair, cette fonction peut avoir des valeurs positives ou négatives.

100. Théorème. — Toute fonction entière, à coefficients réels, est continue.

Soit la fonction à coefficients réels,

F(œ) -= À0#m -f- A^'»-1 + ....+ Am.

D'abord, à toute valeur réelle et finie de x correspond une valeur de V(x), réelle, finie et déterminée. Ensuite, chacun des

termes de F(x) étant une fonction continue de x, la somme algébrique de ces termes est également (99) une fonction continue.

Les théorèmes suivants se rapportent aux fonctions entières à coefficients réels ou complexes, la variable x recevant des valeurs réelles ou imaginaires.

101. Théorème. — Si une /'(/nation entière F(x) s'annule avec x, on peut assigner une quantité positive r, telle que pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur a r, le module de F(x) soit inférieur ;i une quantité donnée \\.

Soit la fonction entière

Y[œ)= A[x + A,*» + • • -fA,,i'm,

dont les coefficients sont réels ou imaginaires: la variable x reçoit des valeurs réelles ou imaginaires. Désignons par p le module de x et par a le

plus grand des modules des coefficients A] , A. \m . Le module d'une

somme étant au plus égal à la somme des modules des parties (13), on a

F(x) | < a(p-h p2-h ... I pm) on < aY

d'où, en supposant p < 1,

vu-

On a donc F(a?) < R pour toutes les valeurs de s vérifiant l'inégalité

ap T j R

Par conséquent, si l'on i)osc

on a F(#) R pour toutes les valeurs de x telles qu'on ait x V.