II. Soit la fonction à coefficients réels
F(*0 - A0.x-m | -kvx™ 1 ! ... I Alu.
On a
K(..-, =1 + Ail A, 1 A„, 1
= 1 -f B^-f B2**+ ... i Bma»,
1 Aj -i
s désignant - > et P>i la fraction ' • Le polvnome
Wxz \-\\^ }- ... -fBm^
a un module plus petit (pie l'unité pour toutes les valeurs de c dont le module est inférieur à la quantité
h désignant la plus grande des valeurs absolues de \i{, 15-, ...
En particulier, pour les valeurs réelles de s comprises entre — r et |- /•, le polynôme Bjc | ... a une valeur comprise entre — 1 et --[- 1, et par suite
le (piotient est positif. Il résulte de là que si la valeur absolue de x
est supérieure à 1 [ b, V\\ a le signe de son premier terme (95).
103. Théorème. — Etant donnée une fonction entière F(x), on petit assigner une quantité positive v, telle que pour toutes les valeurs de x dont le module est supérieur à r. le module de F(x) soit supérieur à une quantité donnée R.
Soit la fonction entière a coefficients quelconques
Fi.n A^m-f A^1"-1 -h ... ■■! - A,„.
y Désignons par p le module de la variable x, et par a0, a,. ... am ceux des coefficients A0, \u ... Ai». Si Ton considère F(.v comme la somme (Ve A0.vm
et (le A,.v-T1— 1 }- .. | Am, on voit que son module est supérieur ou égal à la différence des modules de ces parties; donc
I F(V) ! «0Pm— I -V"» ' hA^-H..; + Am | . (1)
D'autre part (12),
Avmv > \- Ag0?«- 2 -|- ... -f A „ C aipmr1 -f a2pm" 2 + ... + am. (2)
Des relations (1) et (2) on conclut
\'F(n) i ('v?m — «ipm 1 — a2pm~2 ... — am.
On a donc | l\.v 1K pour toutes les valeurs de x dont le module vérifie l'inégalité
aipm-l ^,pm- 2 ... ((n , p u/m | R) > q ;;
Soit « le ])lus grand des nombres au u,, ... a.n-l , am h R; on satisfait a l'inégalité (3) si
«o?m — «(pm 1 + pm"2 + ■•• ! ? ! 1) > 0.
ce qui revient à
cm i
f«0pm — «" , > 0.
<ctte inégalité peut prendre la forme
elle a lieu si, p étant plus grand que l'unité, on a
> 0 ou ? > 1 +
Par conséquent, si l'on fait
le module de F(.v) sera plus grand que R pour toutes les valeurs de x dont le module est égal ou supérieur à r.
104. Variables complexes. — Si deux variables complexes ; .'• \-pi\ Z = X •!- Y*
sont liées l'une à l'autre de manière qu'à toute valeur de la variable indépendante z corresponde une valeur déterminée de Z. on dit que Z est une fonction de z.
Si l'on a recours à la représentation géométrique (9), toute position de dans le plan xy détermine une position correspondante de Z
(*) Nous disons ici « le point c » au lieu de « le point <pii a pour coordonnées ai, y ».
Considérons en particulier une fonction entière
TU> A03* fA^m-J | ... | Am;
les coefficients A0, A,, ... sont réels ou imaginaires, et la variable z reçoit «les valeurs de la forme x | yi. Lorsqu'on donne à z raccroissemcnt h. la
fonction reçoit raccroissemcnt
p.(- [ /,) F(s) A0(5 ! A)" | Aj(ji ! Z/,''1 ' | . . | Am.r- F (s),
tën développant les puissances de s | /» |>;ir le binôme <lc Newton, on trouve une expression de la forme :
F(- -|- A) — F(«) B^ h B2/r h ... -I- iïmh™.
où !>]. B2j ••• S(»»<- tics fonctions de z. Or 1 1 01 . pour tontes les valeurs de h dont le module est moindre qu'une certaine quantité r, le module du polvnôme Bj/j |-l!,/i'- | ... reste inférieur à un nombre donné R quelque petit (ju'il soit. Autrement dit, le module de F(c | h) — F(z) tend vers zéro en même temps que celui de h. On en conclut, en généralisant la définition de la continuité, que la fonction F(z) est continue noce /..
Géométriquement, si le point z éprouve un déplacement infiniment •.petit, il en est de même <In point Z. Si le premier décrit une courbe d'un mouvement continu, le point Z décrit une seconde courbe d'un mouvement continu.
I ) É R I Y É E D'UN E FONCT ION E N T I È R E .
105. Définitions. — On appelle dérivée (rime fonction entière
F(x) = A0a?«" | Arrm i | ... 4. \m ^x y \n] le polynôme
«lA^"1 H--(w^- l)Armv^ + ... ,. Am )
qu'on obtient en multipliant chaque terme de V(x) par l'exposant de x, et en diminuant de 1 l'exposant de x. On indique
une dérivée en ajoutant un accent à la lettre qui désigne la fonction : la dérivée de Fi.v), de f[x), de r, ... est désignée par *». f (x), y\ ...
La dérivée de Fi.vi admet à son tour une dérivée; e'est la dérivée .seconde, désignée par F"iA' . La dérivée de celle-ci est la dérivée troisième F'"(.v), et ainsi de suite.
La dérivée /)'' d'une fonction de degré m est de degré m — /> ; la dérivée m'' se réduit a une constante, el celles d'ordre plus élevé sont nulles.
Exemple. — F{x) = lœ* — 5a?2 — V2x | 8, F'(x) = 21a?2 — lOx — 12, F"(.r) = 42# — 10, F'"(tf)=42, IfIV(o7)-0, F(v-!(o?) == 0, ...
106. Remarques. — I. Si on multiplie une fonction entière par une constante, la dérivée est multipliée par cette constante, de manière (pie la dérivée de a¥(x) est aF'(.v).
11. La dérivée d'une somme de plusieurs fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. La dérivée de Fi.v) ; f{x) ->(*), par exemple, est F'(x) -f f(x) — v'(x).
Ces propositions se démontrent très facilement.
