Formule de Taylor. — Soit une fonction entière
F^J^V^fA^ ( ... +Am; (1)
on «•/
F(* + h) = F(x) + * F>) h ï^F"(iK) + •- + m\ VH'e)- ;~]
Cette égalité se vérifie immédiatement pour F(x) = xm; car la formule du binôme donne
// h2 hm
(x4-h)m=xm h ,»<>-m l h ; -zm[m— l)xm~2 f ...+ ^(ra — II. ..3.2.1. 1 1.2 m!
En multipliant tous les termes de cette identité par une constante a on voit que la formule (2) a lieu pour axm.
Cela posé, si l'on désigne par um, um—l, ••• les différents termes de la fonction (1), on a
A0(a?+ fym "m i î «a I' j-gtt"m + •••,
A m if.'' ! /?j ='«, -f Y«'n
Faisons la somme de ces égalités en observant que
F'(«) ■ «m h W'ra-l -I »'« &+ ... | W'j, F» ""m h «"m l + tt'n H ••• ! u\ ,
nous aurons la formule proposée.
Application. — Que devient, pour x = 2 | h, la fonction F(a?) = a?3 — 4a?2 | Sx - 1 ?
D'après la formule de Taylor,
F(2 + h) = F(2) + hF\2)l !'*., F"(2) + , ~ Q F'"(2).
Les coefficients de F(.v) étant entiers, ceux de F"(x) doivent
être divisibles par 2, et ceux de F"'uy) par 0, car le développe-
F"(x) ment de F(2 -}- h) ne peut renfermer de fraction ; de plus ~
F'"uy) est la moitié de la dérivée de F'lv), et , /\ est le tiers de la
F"(.vi dérivée de , 0 • En appliquant ces remarques on trouve facilement :
F(.r) = x3 — 4x°~ + 5a? — 1, d'où F(2) = 1 ; F'(ar) = 3a?2 — 8a?-f 5, » F'(2) = 1;
Par conséquent
108. Dérivée d'un produit. — La dérivée d'un produit est égale à la somme des produits obtenus en multipliant la dérivée de chaque facteur par le produit de tous les autres facteurs.
Soit, par exemple, un produit de trois fonctions
Nous aurons :
o{fC + h) =» F(a? -I- h)¥x(œ • | h)F2(x + //i ; d'où, en appliquant la formule do Taylor,
F,r | hF'(x) + ...][Fl[a:)+hF\(x) + ..:] [l\Jv}-\-/tV ,{.,') | ...].
Identifions les coefficients de /? dans les deux membres : il
vient
©'(#) = = K'(.r/F1^-)FJ./'; | F ^a?)! '(.r,Fj.r, 4. F'^W(xWi(x)'
109. Dérivée d'une puissance. — Pour dériver une puissance de fonction, il suffit de multiplier la puissance par son exposant et pur la dérivée de la fonction et de diminuer de 1 l'exposant de la puissance.
En effet, la dérivée du produit de n facteurs égaux à Ff.v», d'après le théorème précédent, comprend n termes égaux" à la dérivée ¥'(x) de chaque facteur multipliée par le produit des n — 1 autres facteurs.
Application. — La dérivée de
(3a?2 - i)4(5 2a?)5(7a?2 — 4a? + 2 est
1 . 3 . 2.i\3.r2 — lj3 (5 — 2a?)5 (7a?2 — 4a? -f 2) -- 5 . 2\5 - 2a?) 4 (3a;2 — l)4 (7a;2 - 4a? f- 2) -4- (14 x — 4) (3a?2 — l)4 ,5 — 2a?)5.
110. Théorème. — La dérivée d'une fonction entière est la limite du rapport de l accroissement de cette fonction à racornissement de la variable lorsque ce dernier tend vers zéro.
En effet, de la formule
F(œ + h) = F(a?) + hF'{œ) + j^F>) + ••« on déduit
