FU-I- A) - F(*) A K
puis lorsqu'on l'ait tendre h vers zéro :
llmF(* + A)-F(g)F,Wi
111. Dérivée d'une fonction quelconque. — Si F{x) e&1 une fonction quelconque, l'égalité précédente sert à définir la dérivée de F (ce) :
On appelle dérivée d'une fonction F(x) /;/ limite du rapport de V accroissement de In fonction à l'accroissement de In variable, lorsque ce dernier tend vers zéro.
Cette dérivée est égale nu coefficient angulaire de la tangente menée il la courbe représentée par l'équation y F(x).
Pour démontrer cette propriété, soient .\\ y et x -\- h. y ! k les coordonnées de deux points M, M' de la courbe {flg. J2>. Le
Fi.
coefficient angulaire de la sécante MM' est égal au quotient de la différence k des coordonnées des points M, M', divisée par la différence h de leurs abscisses, ou égal à
Si, M restant fixe, M' se rapproche sur la courbe indéfiniment de M, la sécante MM' tend vers une position-limite MT, qu'on appelle la tangente au point M de la courbe. Le coefficient
angulaire de la tangente MT est donc la limite du rapport
lorsque h tend vers zéro; il est donc égal à la dérivée F'(.v).
Si Ton désigne par X, Y les coordonnées courantes, l'équation de la tangente est
En coordonnées rectangulaires, la dérivée F'(x) est égale à la tangente trigonométrique de l'angle de la tangente avec OX.
112. Théorème. — Une fonction entière réelle F(x) est croissante pour x a si Fa) > 0; elle est décroissante si F'(a) < 0.
Lorsque F'(a) 0 et F"(aj > 0 ou 0, Fia) es/ respectivement un mini muni ou un maximum.
Soit h une quantité positive aussi petite qu'on veut. On a (107-
F(.a + h)-F(à)=-hF'(a) |-^F» h pÇ^ F'"(a)+.., J
F.//~//.)-F(/:/)=^AF,(«+1'2F"(«)- j ^ - F'"( «){,.. j
lie second membre de chacune de ces égalités a le signe du premier terme (96). Xous distinguerons plusieurs cas. 1" F'(a)> 0. Alors
Fia + h) — F (a) > 0, ¥{a — h) — F(a) < 0 ,
ou
donc la l'onction croît avec .v dans l'intervalle (a — /j, a | // .
2° F'(a) <0. On trouve
F{a — h)> F(a)> F(fl + A);
donc la. fonction décroît dans Tin ter val le (a — /;, <w -p h). 3o p'(aj = 0, F" a) ^ 0. Les égalités (1) deviennent
Le signe du second membre est celui de F"(a) (96). Si F"(a) > 0, on a
donc la fonction décroît dans l'intervalle (a — /*, a) et croît dans l'intervalle (a, a -j- /îj, et l'on dit que F(a) est un mininnm de F(.v);
Si F'\a) <^ 0, la fonction croît dans l'intervalle (a — /i, a) et décroît dans l'intervalle (a, a | h); F (a) est un maximum de Fi.vi.
Remarque. — Si
F'(a) = 0, Ff'(a)"=0, ... F^-^a) = 0, F&î(a) 0,
on a les conclusions suivantes :
1° j) impair. La fonction est croissante ou décroissante dans l'intervalle a — I>, u \- h) suivant que F.p)(a) > ou < 0.
2°jo pair. F(a) est un maximum ou un minimum suivant <pie Fp a) 0 ou > 0.
La démonstration est la même que ci-dessus.
