PRINCIPES SUE LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Division d'une fonction entière par x — a.

114 Théorème. — Le reste de la division d'une fonction entière F(x), par un binôme x — a, est égal a F(a).

Si l'on continue la division jusqu'à ce que l'on arrive à un reste II indépendant de x} on aura, en désignant par f(x) le quotient, V identité

Si l'on y remplace x par a, on trouve ¥(a) = R.

Corollaire. — Pour que F(x) soit divisible par x — a, il faut et il suffit que Von ait F (a) = 0.

Remarque. — On a ~F(x) = F(a -f- x — a); en appliquant la formule de Taylor à F(a -\- x — a) on trouve

F(x) - F(a) + (»-a)F'(a) + ^~|^ F» + ... + (x^ FM{«).

Il résulte de là que le reste de la division de F (a:) par (.y — a)P, où p < /7î, est

P(a) + {x B)F.(a) + !^r|>! F» + ... + (:^j)-r FlP^ («)•

115. Théorème. — Sz ffitie fonction entière F(x) <?sf divisible séparément par (x — a)i\ (x — b)q, (x — c)r , ..., elle est divisible par le produit

a, b, c ... sont des nombres distincts; /), q, r ... sont les exposants des x>lus hautes puissances de x — a, x — b, x — c, ... qui

divisent V(x).

Par hypothèse,

Fi (x) étant une fonction entière. Remplaçons dans cette égalité X par b; puisque V(b) 0, il vient

(ô-aJPF^J^O;

d'où, à cause de b — a y^ 0, Fx(b) = 0. Donc F,«i est divisible par x — b; si [x — 6)ri' est la plus haute puissance de x — b qui divise Fjftf), on peut poser

Fi (x) = (x — b)*lFt(af), avec F2(&; =£ 0.

L'identité (1) donne alors

On a nécessairement q — q' ; car, par hypothèse,

F(x) = (a? — 6)1? (a?), avec œ(&) ^ 0,

et si l'on avait par exemple q > r/', on trouverait en égalant les dernières valeurs de F(x) et en simplifiant l'identité résultante par le facteur (x — bfî :

(x — ayFJx) = (x - ^-i' a>(a?),

égalité impossible puisque le second membre est nul pour la valeur x.~ b qui n'annule pas le premier membre. On a donc q — q'; par suite

F(x) = (a? — a)P(aj — &)qF2(,r). (3)

Remplaçons ^* par c; comme F(c) = 0, c — a ^ 0, c — 6^0, on voit que F2(c) = 0. F2(x) est donc divisible par x — c ; si r' est l'exposant de la plus haute puissance de x — c qui divise

F2(x), on a

F2(x)==(x-cy<F3(x), d'où

On prouve facilement que r = i*', etc.

Remarque. — On démontre de la même manière le théorème suivant : Si une fonction entière des variables x, y, /. est divi-

sible séparément par x — y, y — z, / — x, etc., elle esl divisible par le produit (x — y) (y — z) (z — x) —