Quotient de la division de F(x) par x — a. — Soit

F(œ) = A0a?« -f ArT>»-i -f ... + Ain ^a? - 1- A,

Le quotient cherché étant de degré m — 1, représentons-le par

Bq^-ï -1- B^m-2 4- ... -] B.n,a? + Bin j .

Si R est le reste de la division, nous aurons Y identité

k0x™ -f ... + Au, - (.r — a) (Bo^m-1 -f- ... + Bm__ ,) -f- R .

Eu égalant les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres on trouve

B0 = A0, Bx — aB0 = A1, B2 — àBl — A2, ... Bm-i — ftBm 2 = Am i, R — «Bni i = Am .

De ces égalités on tire successivement les valeurs de B0, Bj,B2, ... Bm i, R; il en résulte la règle :

Le premier coefficient du quotient est égal au premier coefficient du dividende; le pe coefficient du quotient s'obtient en multipliant le coefficient précédent du quotient par a et en ajoutant à ce produit le pe coefficient du dividende. Le reste s'obtient en multipliant le dernier coefficient du quotient par a et en ajoutant à ce produit le dernier coefficient du dividende.

Application. — Dans les applications numériques, on écrit sur une première ligne les coefficients de ~F(x) en tenant compte des lacunes, c'est-à-dire en attribuant le coefficient 0 aux termes qui manquent; sur une seconde ligne, on écrit les coefficients du quotient et le reste calculés d'après la règle précédente. Soit, par exemple, à diviser 2a5 -f- 4a?4 — lx~ -f- Sx - 5 par x — 2. Coeff. du dividende : 2, 4, 0, — 7, 8, — 5 Coeff. du quotient : 2, 8, 1G, 25, 58 111. Quotient : 2x4 + 8a?3 -f K)x2 -f 25a? -f 58; Reste : 111.

117. Valeur numérique d'un polynôme donné. — Pour trouver la valeur d'un polynôme F(x) pour x = a, on cherche par la règle précédente les coefficients B0, Bn ... du quotient et le reste R de la division de F(x) par x — a; R est le nombre cherché F(#)..

Soit à trouver, pour x — — 3, la valeur du polynôme

Coeff.du polynôme : 3, 0, — 7, 0, 0, — 1, :5. Quotient par x -f 3 : 3, —9, 20, —60, 180, —511 1635.

Le nombre cherché est 1035.

Pour démontrer directement ce procédé, il suffi! d'écrire les valeurs explicites des nombres calculés. Désignons ces nombres par F0 Fl5 ... , Fm, et écrivons a; au lieu de a; nous aurons

Ft = A0* + A1,

Fm i = A0xm-i -I- A^m-2 -|- ... + Am 1}

Fm = AQoc™ -i- Ar^-i + ... + Ara 1o; 4- Am. Les polynômes F,„, Fm i, Fm 2, ... sont appelés fonctions de

Laguerre.

Nombre des racines d'une équation.

On appelle racine d'une équation F(*v) — 0, racine ou zéro de la fonction F(x) toute valeur de x qui annule cette fonction.

118. Théorème fondamental. — Toute équation algébrique entière, à coefficients réels ou imaginaires, a au moins une racine réelle ou imaginaire.

Nous admettons cette proposition comme postulatum.

Remarque. — Le théorème précédent peut encore s'énoncer ainsi (114-) : Toute fonction entière admet au moins un diviseur de la forme x — a.