Théorème. — Toute fonction entière
F(œ) = A0a?m -f- A ^m-i 4. .. ± Ara i^? -f Am
peut se mettre sous la forme
AQ(x — ûfj) {ce — a.z) ... (x — am).
En effet, F(x) admettant au moins un diviseur de la forme x — alf on peut écrire
E(*) = (*--a1)FI(tf),
Fx(x) étant un polynôme dont le premier terme est A0xm~l.
F{{x) admet au moins un diviseur linéaire x — az ; soit
Fj-te) = (x - «,)F2(.t).
En continuant ainsi, on parvient à une fonction du second degré ayant pour premier terme M0x2 et se décomposant en A0(x — am i) (x — am). De ces diverses égalités, on conclut
F (57) = A0(# — a{) (x — a») ... (00 — am).
120. Théorème. — Toute équation de degré m a m racines. Soit l'équation
F(#) = A0a?™ 4- A2o?m-i | >b j| Am = 0.
On vient de trouver
F(a?) = A0(^ — c^) (a? — a2) ... (x — am).
Supposons d'abord les nombres a{, a2, ... am distincts. L'identité précédente montre que l'équation ¥\x) = 0 admet pour racines av, a2, ... a.n et n'admet pas d'autre racine (16).
Supposons ensuite que plusieurs des facteurs x—al x — a2, ..., soient égaux entre eux, et soit
F(x) — A0(x — a1)<x(x — a.,)r(x — Cl^ ... ,
la somme des exposants a -f- j3 -j- y -f- ... étant égale à /a Nous disons, dans ce cas, que l'équation admet a fois la racine a{, fi fois la racine a2, ... ; nous aurons ainsi encore m racines. On ne pourrait avoir une autre décomposition, telle que
F(x) = A0(x — %)*(# — az)r (x a3)> ... ;
car il en résulterait l'identité
A0(x — «i)a(# — «2)' (# — ®s)^" • = ^ol^ — ai)a(fiC ~~ tt2)'J (,r — #3)"^ ••• ou, si l'on avait a > a' :
(a? — ci1)ct~y' (x — cc.zy(x — a3)^. . . = [x — aty (x — a3) ''...;
mais la dernière égalité est impossible puisque le premier membre est nul pour x = a: tandis que le second ne l'est pas.
121. Principe d'identité. — \° Si une fonction F(x) de degré m s'annule pour plus de m valeurs de la variable, tous ses coefficients sont nuls.
En effet, si quelques coefficients de l.<\.v) n'étaient pas nuls, L'équation F(.v) = 0 admettrait plus de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré.
2° Deux polynômes F(x), f(x) ne peuvent être égaux pour plus de valeurs de x qu'il n'y a d'unités dans le degré de celui de ces polynômes qui a le degré le plus élevé, sans être complètement identiques.
En effet, soit
F(x) = A0 -f- A^ -f- A2a?2 -\- ... Amxm, f(x) = B0 + B^ + B2œ* -f ... Bna>»,
m étant égal ou supérieur à n. Si pour m -f- 1 nombres distinets «!, a2, ... am+l on pouvait avoir
F(a,) = /<àj, F(a2) - f(*t), ... F(am+1) = fK«m+i),
l'équation
F{x) — f[x) = A0 - B0 4- (Ai — BJx -f (A, — B2)x* -f ... = 0
aurait plus de racines qu'il n'y a d'unités dans son degré; ce qui exige
