A0-B0, À1 = BI> A, = B

122. Théorème. — Si une équation algébrique à coefficients réels admet p fois une racine imaginaire y. -\- ,31, elle admet aussi p fois la racine conjuguée a — pi.

Soit l'équation F(x) = 0, à coefficients réels. On a (24)

F(a -f p/j = P -f Qt3/, F(a — pij =.-. P — Q?t;

a -f- pi étant racine, on a nécessairement P = 0, Q = 0, d'où l'on conclut F(a — p/) = 0, de sorte que a — ,3/ est également racine. ¥(x) étant divisible par x — (a + pi) et par x — (a — pi) est divisible par le produit de ces binômes ou par x — a)2 -\- p2 ; le quotient est un polynôme réel F^v), et l'on a

Si a -|- pi est racine multiple de ¥(x), il est encore racine de Fx(a:); donc a —pi, d'après ce qui vient d'être démontré, est également racine de F^ac), et l'on peut écrire

F-X(œ) = [[x - «)* 4- V]F,{x), d'où F(a?) es [(x - a)- + p-]~F2(.T) . ..

En continuant ainsi, on trouve, dans le cas où % -\- |3r est p fois racine de F(x),

F(co) = [(x - «)2 + P*]pFp(«>.

Donc a — j3z est au moins/) fois racine. Il ne peut être plus de p fois racine, car a -f- |3z serait au moins le même nombre de fois racine, ce qui est contraire à l'hypothèse.