Théorème. — Soient a, b, ..,1 les racines de l'équation

F(x) = x™-\- A^1»-1 -f À^-z j ... ,| a.u = 0; on a les relations

a + ft + cf. , + ^-Ai, ceb -\- ac -f- . . -f- kl— A2, cibe -f- a&a? -f- ... -[- ?7i/ = — A3, (1)

abc ... Z'/ = (— l)mAm.

En effet, F(x) est identiquement égal au produit

qui a pour développement

œm xm-xZa -]- x™~2?ab — xm'?labc ~\- ... + (— l^aôc ... /.

125. Remarque. — Les relations (1), au nombre de m, ne peuvent servir à déterminer une des racines en particulier. En effet, si on élimine b, c, ... /, on obtient une équation en a; soit

<f(a) — 0 cette équation. Comme les relations (1) sont symétriques par rapport aux racines, l'élimination de a, c, ... / doit conduire

à l'équation z(b) = 0. En continuant ainsi on voit que l'équation 'f(.v) - 0 a pour racines a, o, ... c; elle est donc identique à l'équation proposée F .y) = 0.

Cette conclusion peut être vérifiée d'une manière bien simple. Car, si on ajoute les égalités (1) après les avoir multipliées respectivement par — a1111, am 2, — am~3, ... ( — l)m, on trouve

a» = A^ni-i -|- A,am-« -h ... + Àm iû + Am, ou F(a) = 0.