Application. — Les relations (1) peuvent faciliter la
résolution de certaines questions qu'on peut se proposer sur les racines d'une équation. Soit, par exemple, à trouver la condition nécessaire pour qu'une racine de l'équation
x3 -f- px~ -f- qx -|- r — 0
soit égale à la somme des deux autres. Si a, b, c sont les trois racines, on a
a -\-b -f c = — p, ah -\- ac -\- bc = q,
abc = — r.
Les deux premières égalités donnent
en exprimant que — \- est racine de l'équation proposée, on trouve la condition cherchée :
p3 — 4pq -{- 8r = 0.
Les valeurs de b et c résultent des égalités
b 4- c = a ^ — - > bc = = - - ;
donc b et c sont racines de l'équation du second degré
0+lu+j-O.
Principe de substitution. »— Conséquences.
127. Théorème. — Soit F\x) une fonction réelle, continue dans i intervalle (a, b). Si F(a) et F(b) sont de signes contraires, V équation F(x) =- 0 a au moins une racine comprise entre aefb.
En effet, si x varie d'une manière continue depuis la valeur x ~ a jusqu'à la valeur x = b, F(x) variera aussi d'une manière continue en passant de la valeur F (a) à la valeur F(b) qui a un signe contraire. A cause de la continuité, F(x) ne peut changer de signe qu'en passant par la valeur zéro.
La construction de la courbe représentée par l'équation y = F(x) rend le théorème intuitif. Aux abscisses a et b correspondent deux points A et B situés de part et d'autre de l'axe OX; la courbe restant à une distance finie de cet axe et offrant un trait ininterrompu entre A et B, doit traverser une ou plusieurs fois l'axe OX; l'abscisse de chacun des points d'intersection avec OX est racine de F(x).
Remarque. — Une fonction réelle F(x) qui est continue dans V intervalle (a, b), passe par toutes les valeurs intermédiaires entre F (a) et F(b) quand x varie d'une manière continue depuis la valeur x — a jusqu'à la valeur x = b.
La courbe représentative de la fonction rend encore cette proposition intuitive. D'ailleurs, celle-ci comprend le théorème précédent comme cas particulier.
128. Applications. — L Soient xl} x2, ... x6 six nombres différents, rangés dans l'ordre de grandeur décroissante. L'équation
F[x) = (x — o-'j) (x — ccz) (x — x5) -f- y2(x — x2) (x — x4) (x — <r6) = 0
a trois racines réelles. En effet,
F(xï) == f~(xl — x») (xx — x4) [xl — x6) > 0, F(.r2)..^ (x2 — a?i) (x.2 — x3) (x.z — x:>) < 0;
donc l'équation F(x) — 0 admet au moins une racine comprise entre x^ et x*. On démontre de même qu'il existe au moins une racine entre .v3 et a*4, et au moins une entre .v5 et x6. Comme l'équation n'a que trois racines, chacun des intervalles [xlt x,), (x3, x4), (xSi xQ) comprend une seule racine.
1 1. L'équation
a toutes ses racines réelles. Car, si l'on suppose
F(a-) est une fonction continue dans l'intervalle (a -(- s,/; s désignant un nombre positif aussi petit qu'on veut ; or
puisque les termes"" > - dont les valeurs sont aussi grandes
qu'on veut, donnent leur signe; par conséquent, F(x) s'annule au moins une fois dans l'intervalle (a --f- s, b — s). On verrait de la même manière que cette fonction a au moins une racine dans chacun des intervalles (b, c), ... (A*, /). Enfin, comme F(/ ~j- e)^> 0, F(oo) <^0, il existe au moins une racine de ¥{x) supérieure à /. Le nombre des racines réelles dont l'existence est certaine, est précisément égal au degré de l'équation F(x) — 0 rendue entière ; donc, etc.
On peut démontrer autrement que l'équation proposée n'a pas de racines imaginaires. En effet, si x -f- 3/ est racine, a — (3/ est également racine ; or, de
F(«-f » = S - — ~ — -M2==û, Ffa-3/)^5 -— M2=0,
on tire, par soustraction, ?A* f- -- ^^p ~ — —*) = 0. (m 2/Ps, — £o û = °>
lva — &-|~P2 a — a — fw/ (a — a)--\-i~
égalité impossible.
129. Théorème. — SI deux quantités x et 3 comprennent entre ettes un nombre impair de racines dune racine algébrique réelle F(x) = 0, ces quantités, substituées à x dans F(x), donnent des résultats de signes contraires ; si elles comprennent
un nombre pair de racines, les résultats de substitution] sont de même signe.
Supposons que l'intervalle (x, 3) comprenne p racines a, b, ... g.
Nous pouvons écrire
F(x) = (x — a) (x — b) ... (x — ff)^(jf), -f(x) étant une constante ou une fonction entière. Dans le second
F(a) = (*-«)(« -b).. (a-^)?(a), P(?)-(P-«)(P-6)..r(P-^>KP)i
puis
r(a) a — a a — & a — // o(a) P(pj == fZTa f~b"' f^-~g iX?)
cp(a) et cp( 3) sont de môme signe, sans quoi l'équation v(x) = 0
aurait au moins mie racine entre a et ,3, et a, 6, ... g ne seraient
pas toutes les racines de F(.v) comprises entre a et ,3. Les p
fractions
sont négatives; donc le quotient F (a) : F(|3) est positif ou négatif suivant que p est pair ou impair; ce qui démontre le théorème. Si a et ,3 ne comprennent entre eux aucune racine de F(ar), F(») et F(j3) sont de môme signe.
Corollaire. — Lorsque x variant d'une manière continue passe par une racine de V équation F(x) = 0, la fonction F(x) change de signe ou non, suivant que le degré de multiplicité de cette racine est impair ou pair.
Soit a une racine d'ordre /; ; si s désigne un nombre aussi petit qu'on veut, l'intervalle (a — e, a + s) comprend p racines égales à a. Donc F(a — s) et. F(a f s) sont de signes contraires ou de même signe suivant que p est impair ou pair.
130. Théorème. - Si deux nombres a et p, substitués à x dans le premier membre (lune équation algébrique réelle, donnent des résultats de signes contraires, ces nombres comprennent entre eux un nombre impair de racines de V équation ; si les résultats de substitution ont le même signe, a et p comprennent un nombre pair de racines ou n'en comprennent aucune.
Ce théorème est le réciproque du précédent.
131. Théorème. — 1° Toute équation algébrique de degré impair, à coefficients réels, n au moins une racine réelle, de signe contraire à son dernier terme.
2° Toute équation algébrique de degré pair, à coefficients réels et dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, lune positive, Vautre négative.
On suppose le premier terme de l'équation positif et le terme indépendant différent de zéro.
1° Soit l'équation de degré impair
FOr) = A0*"> -J-À!»™-' I ... -fAm «0. On a (95)
F(— oo)== — oo, F(0) = Am, F(-foo) = | oo;
doue, suivant que Am est positif ou négatif, l'équation a un nombre impair de racines entre — oo et 0, ou entre 0 et -f- oo. 2° Si l'équation est de degré pair, on a
F(— oo) = + oo, Fl0)==Am, F(+oo)= ^ oo-
donc, si Am <^ 0, l'équation a un nombre impair do racines entre — oo et 0, et un nombre impair de racines entre 0 et | oo.
Si An^> 0, l'équation a un nombre pair de racines positives et un nombre pair de racines négatives, 0 étant considéré comme un nombre pair.
Exercices et notes.
