Résoudre l'équation

x3 — Or2 4- 23x — 15 = 0,

sachant que les racines sont en progression arithmétique.

22. a, b, c étant les racines de .v3 -\- px~ -}- qx -\- r -- 0, fermer l'équation du 3e degré ayant pour racines

yx = — a -f- b -\z c, ?/2 = a — b -f- c, y2 == a -J- b — c.

Calculer yY-\- y>-\- y^ yiX-z -\- ysTs -{-XsYu yiy>y-.h &a remplacer dans l'équation proposée x par — - (p -f- y), 23 Etant donnée l'équation

x4 4- p:j°z 4- cix~ + rx + s — 0,

exprimer que la somme de deux racines est égale à la somme des deux autres.

S'appuyer sur les relations (124», ou identifier l'équation avec

La condition cherchée est r = -\ q —

24. Exprimer que la mènie équation a deux racines égales et de signes contraires.

25. En un point quelconque À de la courbe représentée par y = a3, on mène la tangente, qui coupe de nouveau la courbe en B, Lieu du milieu de la droite AB (Réponse : y3 = 28a;). Démontrer que l'axe des y divise la corde AB dans un rapport constant. Lieu des milieux des cordes parallèles à la droite ayant pour équation y = mx (Réponse : y = 3mx — Sa3).

2G. D'un point donné P, on peut mener trois normales à une parabole ; soient M, M', M" les points d'incidence. Le centre de gravité (i du triangle MXt'M" est sur l'axe de la parabole ; si l'on prolonge PG de GII =2PG, le point II est situé sur une droite fixe. Lorsque deux des normales sont rectangulaires, le lieu de P est une parabole. Le lieu d'un point P tel que

PM2-|-PM'2 | -PM"2- a\ est une ellipse.

■^1 . Décomposer en facteurs réels du second degré x4 -J- 1> &G -\- 1-

x4 -|- 1 — & 4- 1 + 2x2 — 2x2 = {■%■• • h olV2 + 1) {x- - cci/2 + 1);

= (x2 - 1- 1) (x2 -|- xv 3 4- 1) (a?« - xi/S + 1).

a? ^2 Pour obtenir des décompositions rationnelles, on remplace x par

ou ? ce qui donne

4x4 + y4 = (2#2 4- 2xi/ 4- ?/2j (2a?2 — 2<ry 4 .V2), 27.^ 4 y6 == (3.r- + y*) (3.r« 4 3^ 4" J/2) (3*« - 3.ry + y2).

De la première formule, on conclut que tout nombre de la forme bv! 4- 1 (en particulier 2,rH - 4 1)> excepté 5, est composé.