TRANSFORMATION DES EQUATIONS, LIMITES DES RACINES

Transformations élémentaires.

Transformer une équation F(x) = 0, c'est en déduire une autre équation f(y) == 0 dont les racines aient, avec celles de F(x) = 0, une relation donnée d'avance. L'équation f\y) = 0 est appelée la transformée de F(x) = 0.

132. Problème. — Changer les signes des racines d'une équation

F (a?) = A0xm + A^111-1 -f ... ■+- A:n-!^ 4- Ara = 0.

Si x désigne une racine quelconque de F (a:) = 0, et y la racine correspondante de la nouvelle équation, on doit avoir

Eliminant x entre ces égalités on trouve l'équation cherchée

Si l'on remplace la lettre y par x, on peut dire que la nouvelle équation s'obtient en changeant x en — x dans l'équation proposée.

Neuberg. — Algèbre. 8

Remarque. — Si l'équation F(x) = 0 ne renferme que des termes de degré pair, elle se confond avec sa transformée en — x; donc ses racines sont, deux à deux, égales efc de signes contraires. On abaisse le degré d'une telle équation en prenant x2 pour inconnue.

133. Problème. — Multiplier, par un nombre donné K, tes racines de F(x) = 0.

Il faut éliminer x entre les équations

y = Kx, F(x) = 0 ;

la transformée est doncFf -^ ) = 0 ou

A0y™ H- AjK?/™-1 + A2KVm"2 + ••• + Am-iK™~hj + AmKm = 0.

Les coefficients de la transformée sont égaux a ceux de la proposée, multipliés par les puissances successives de K. Exemple. — Soit à multiplier par 2 les racines de

3^4 7(C2 | Sx ___ 9 = o.

On trouve (en écrivant x au lieu de y) :