RECHERCHE DES RACINES COMMENSURABLES
Conditions auxquelles satisfait une racine entière
157. Théorème. — Pour qu'un nombre entier soi! racine d'une équation à coefficients entiers, il faut et il suffît : qu'il divise le dernier terme; qu'il divise le quotient de cette division augmenté du coefficient dex; qu'il divise le quotient de la seconde division augmenté du coefficient dex2, et ainsi de suite ;
— lot —
enfin, que le quotient de la m0 division augmenté du coefficient de xm donne pour somme zéro.
Si le nombre entier a est racine de l'équation à coefficients entiers
F,.r) A05?ra I- Arrm-i + , , ( Affl ^ |. Affl ... Qf (1)
le quotient de la division de F(*y) par a* — a est un polynôme à coefficients entiers, que nous représentons par
f[œ) = B^"*-1 + BL#m-2 |-..+ I5mv' I Bm ,.
En identifiant F(a') avec le produit (a* — a) /*(.v) on obtient
B0 = A0, B, — B0« - Ai, B, — Bxrt = A,,
... l)m j — l)m o^ = Am— n ~ Dm — \Q> — A.n.
Tirons de là les valeurs de — Bm,, — l>m., ... en remontant
la suite de ces égalités; il vient
T) Am T> l>m-i -f- A m -,
— ISm-i = ' — Dm 2 = — — - - j
T, — Bm 2 + Am— 2 p — l>i + A,
De plus, — B0 -{- A0 = 0. Ces relations démontrent le théorème.
Recherche des racines entières.
158. Pour déterminer les racines entières de F(x) — 0, on cherche une limite supérieure L des racines positives, et une limite supérieure L' des racines positives de la transformée en — x ; puis on forme tous les diviseurs du dernier terme de F(#), compris entre — L' et L. On rejette ceux de ces diviseurs qui ne satisfont pas à toutes les conditions indiquées ci-dessus. L'exemple suivant montre suffisamment la marche à suivre.
Application. — Résoudre l'équation
4^4 xz 5Gil.2 y 57a; | 3(5 = 0. (1)
En écrivant
on peut observer que le trinôme 4 x - — .v —56 reste positif à
arjtir de sa plus grande racine qui est \1 -f- \ 897J, ce qui c
duit à poser L — 4. La règle de Lagrange, appliquée à la transformée en — a*, donne L' = 5.
Les diviseurs de 36 compris entre — 5 et 4 sont
On voit facilement que 1 et — 1 sont à exclure. Pour essayer les autres diviseurs, nous adoptons la disposition suivante :
On écrit sur la première ligne les coefficients de l'équation. Pour essayer le diviseur 3, on divise 36 par 3 et l'on écrit le quotient 12 sous le nombre 36 ; on ajoute ce quotient au nombre placé à gauche dans la première ligne, on divise la somme par 3 et l'on écrit le quotient sous le nombre 57; et ainsi de suite. Comme on obtient ainsi des nombres entiers et finalement zéro, 3 est racine et les coefficients du quotient du premier membre de l'équation divisé par x — 3 sont les nombres (b) changés de signe. Les essais suivants se feront maintenant avec les nombres (b). Il faut d'abord examiner si 3 n'est pas racine multiple; la troisième division donnant un quotient fractionnaire, on passe à un autre diviseur. Une seconde racine est — 4; les nombres correspondants (c) sont les coefficients du quotient du polynôme (1) divisé par (x — 3) x -j- 4). L'équation proposée est donc
(x — 3) (x h 4) (Ax- — hx - 3) = 0;
1 f elle a deux racines incommensurables, égales à - ( 5 ± \73 .
159. Règle d'exclusion. — On réduit quelquefois le nombre des essais à faire, en s'appuyant sur le principe suivant :
Si a est racine entière tVuiie équation F(x) 0, à coefficients entiers, a — 1 divise F(l) et a -\ 1 divise F(— 1).
En l'Ilot , si a est racine, on n
KO) [.v- a)/\.r\.
f\.X) étant un polynôme à coefficients entiers; par suite,
FI) =(1 -«Vil), F( -1) -(1 \a)f[- 1),
en sorte que Fil) est divisible par 1 — <*, et K(— 1) par 1 | u.
On calculera donc F[l) et F; — lj, et l'on exclura les diviseurs du dernier terme de P(*v) qui, diminués de 1, ne divisent pas F^l), ou cpii, augmentés de 1, ne divisent pas F( — 1).
Exemple. - F{œ] .r3 — 4 U~ — 45 ce h 12G00 == 0. On trouvera L = 45, L' = 17. Les diviseurs de 12G0J compris entre — 17 et 45 sont
J: 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± G, ± 7, ± 8, i 9, ± 10, ± 12, ± 14, ± 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35, 30, 40, fô.
La substitution de j- 1 et de — 1 dans F(x) donne
La règle d'exclusion écarte les diviseurs autres que
2, 3, 5, 9, 21, 35, --3, —7, --15. » En appliquant à ceux-ci la méthode du ^ 15S, on trouve .r'' — U.v2 — 4ox -f 12G00 - U — 24) (.r — 35) (.r j- 15).
Recherche des racines fractionnaires.
160. Théorème. — Si la fraction irréductible ! est racine de l'équation à coefficients entiers
Ao*» I- A^-1 -f- ... -f- A a ..,.*• | Am ==0,
/e numérateur a divise Am, /e dénominateur b divise A0.
Remplaçons .v par 7- et chassons ensuite les dénominateurs ; il vient
A0a™ -f- Arrm-iA |- ... -f A,„ ^V" » -f XJ>m == 0;
d'où
A0am = — ^(Airt"1 "l |- A2am~zb -f ... |- A„/;m 1), Anôm« - ftfA.^-1 h A^1»-^ -h ... |- Am-^»"1).
On voit ({ne b divise A0am, et que a divise Am/;m; doue, puisque a et /; sont premiers entre eux, b est diviseur de A0, et a diviseur de Am.
16!. Corollaire. — Une équation à coefficients entiers, dans laquelle le coefficient du premier terme est l'unité, n'a aucune racine fractionnaire.
Car le dénominateur d'une telle racine doit diviser A0, qui est supposé égal à 1.
162. Remarque. — On peut toujours ramener la recherche des racines fractionnaires a celle des racines entières.
Soit F[X) = 0 une équation à coefficients entiers. Si le premier coefficient est égal à l'unité, l'équation n'a aucune racine fractionnaire (161). Si ce coefficient est différent de l'unité, on transforme l'équation en une autre dont le premier coefficient est l'unité, en multipliant les racines par un nombre convenablement choisi k. Il suffit de chercher les racines entières de la nouvelle équation et de les diviser par k pour avoir toutes les racines commensurables de V(x) = 0.
Exemple. — 12^4 — &>::î — 21a;2 4- »# 4- 6 = 0. il)
On trouve facilement (142) L — 2, L' = 2. Les seuls nombres entiers qui puissent être racines sont donc 4-1 et — 1. Comme F(l) = — 6, F( — 1) = 0, nous divisons F(x) par x -\- 1, ce qui nous conduit à résoudre l'équation
Celle-ci n'admettant plus la racine x = — 1, nous la transformons en une autre ayant pour premier coefficient l'unité. En multipliant les racines par 6, on trouve
oc* — 10a?5 — 3x -f- 108 = 0.
La règle énoncée ci-dessus (158) donne pour racines — 3, 4, 9;
1 2 3 les racines de (1) sont donc — 1, — -> -> .-■
Exercices et notes
1 Résoudre les équations tt*-.jfi - 6a?4 — x~ M |-6 =0. Racines: I, — 1,-2, 3, ± \ !— 1) .
.< ' - G.r4 — 5.X'3 -|- hS.V2 — 141 = 0. (Racines : 3, — 2).
Vox* h IOjc8 — 46a?2 — §x -f 6 = 0. f Racines : | » — |\
&r6 — 38.V- |-57.«4 -G0.r3ho2.r2— 22->H 3-0., Racines: 1, 3, L ï\
2. Une équation F(.v) - 0, à coefficients entiers, n'a pas de racine entière, si le produit
F(a)F(i -f 1) F(rt 1- 2) ... F (a + » -f 1),
où a désigne un nombre entier quelconque, n'est pas divisible par n.
Si ce produit est divisible par n*, k est une limite supérieure du nombre des racines entières de F(.v) =0. (DE MONTEBELLO.)
3 Soit une fraction irréductible, racine de l'équation ¥(x) — 0, à coeffiu
ci eut s entiers. Démontrer que les coefficients du quotient de F(.-v) divisée
î>ar x sont entiers et divisibles par a.
En effet, si l'on divise F(.v) par bx — a, les coefficients du quotient sont entiers ou des fractions dont les dénominateurs ne renferment pas d'autres facteurs premiers que ceux de/>; si l'on effectue la même division en ordonnant suivant les exposants. croissants de x, les coefficients du quotient sont entiers ou leurs dénominateurs ne renferment pas d'autres facteurs premiers que ceux de a. Le quotient étant le même dans les deux cas, ses coefficients sont entiers, etc.
