Trouver les racines rationnelles des équations

x2 — Spqx -f p* -f- <y3 = 0,

xz - (p2 + pq 4- q*)x + p~q + pq2 = 0,

#3 (a | by-x* -f ab(2a2 -\- ab -f- 2b~x — 2a3b* = 0.

5. Si la fraction irréductible - est racine de l'équation Fi'.v) — 0, à coeffi-

cients entiers, b — a divise F(l), et b -\- a divise F( — 1).

6. Si l'un des nombres F(l), F( — 1) est impair, l'équation F(x) = 0 n'a pas de racine impaire.

~. Trouver les facteurs commensurables du second degré de F(.-v).

On divise Vix) par x \-px-\-q, ce qui donne un reste du premier degré Rx -f- S. On pose 11 = 0, S = 0 et l'on élimine p ou q entre ces égalités ; on cherche les racines commensurables de l'équation ainsi obtenue, etc.

Autrement : Si l'équation admet une racine de la forme a |- V b, a et b étant commensurables, on décompose l'égalité F(a \- v'b) — 0 en deux autres :

P(«)4-|jF"(a) h^F"(«) | -..=0, F'(a) h|j F'» + ... =0,

et l'on élimine entre celles-ci, soit a, soit &, etc.

8. Etant donnée une fonction entière à coefficients entiers, trouver les facteurs de la forme xv — a, a étant commensurable.

On met l'équation sous la forme

?0(a?P) + aw^aP) 4- ... 4- *>*-l?,-i{&) = 0, ?o ?n •• désignant des fonctions entières; les équations

?o(*) = 0, «xW-0, . ., çP-1(*)==0 devront avoir une racine rationnelle commune a.