DES SOLUTIONS COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS

Plus grand commun diviseur de deux polynômes.

163. Préliminaires. — Soient A, B, ... des polynômes entiers en x.

On dit que C divise A lorsqu'il existe un polynôme entier Q qui, multiplié par C, reproduit identiquement A.

Si C divise A, i7 en es/ Je même du produit de C /;ar h/7 facteur

h indépendant de x. Car l'égalité A = CQ donne A = /iC x -, '

et 7 est un polynôme entier en a:.

Dans la suite, nous ne regarderons pas comme différents deux diviseurs C, 7iC qui ne diffèrent que par un facteur indépendant de x.

Si C divise A, i7 divise aussi le produit AB, B r7«'j/i/ ////r fonction entière de x ou une quantité indépendante de x. Car si A = CQ, on a AB = C X BQ, et BQ est une l'onction entière de x.

Tout diviseur C r/c A c/ B divise AA' -f BB', A' e* B' désignant des fonctions entières de x ou des quantités indépendantes de x. Car, si A - jCP et B = OQ, on a

AA' + BBf = C(A'P + B'Q),

e£ A'P + B'Q est une fonction entière de x.

Un polynôme entier en x est dit premier quand il n'est divisible que par lui-même (multiplié par un facteur numérique si l'on veut) ou par des fadeurs indépendants de x. Si Ton admet le théorème de D'Alembert, les seuls polynômes premiers sont ceux du premier degré. La théorie de la divisibilité algébrique, telle que nous l'exposons ici, est indépendante de cette proposition.

Deux fonctions entières de x sont dites premières entre elles quand elles nont aucun diviseur commun en x.

164. Règle du plus grand commun diviseur. — On appelle plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers en x, le polynôme entier de degré le plus élevé qui divise à la fois ces deux polynômes.

Soient A et B deux fonctions entières de x, de degrés m et n respectivement; nous supposons m supérieur ou égal à n.

Si B divise A, B est le plus grand commun diviseur de A et B. En effet, il n'existe pas de polynôme de degré supérieur à /*, divisant à la fois A et B, et tout polynôme IV de degré n qui divise à la fois A et B ne diffère de B que par un facteur constant, le quotient de B par B' étant indépendant de x.

Supposons que B ne divise pas exactement A ; soient alors Q le quotient et Rj le reste de la division de A par B, de sorte (pie

A = BQ-fR,

Il est facile de voir que les polynômes A et B ont les mêmes diviseurs communs que B et U,. Car tout polynôme qui divise A et B divise A — BQ ou R,, et tout diviseur de B et de Rt divise BQ -f- PM ou A.

R, (Haut de degré moindre (iue B, divisons B par R, ; soit R2 le reste. Si R2 contient x, cherchons le reste R2 de la division de Rj par R2, puis le reste R4 de la division de R2 par R3, et ainsi de suite. Les degrés des restes successifs allant en diminuant, on arrive à un reste Rp indépendant de a*. Il peut se présenter deux cas :

1° Rp 0. A et B, d'après ce qu'on a vu, ont les mômes diviseurs que B et Rl; ceux-ci, en vertu du même raisonnement, ont les mômes diviseurs que Rl et R2; et ainsi de suite. Les diviseurs de A et de B sont donc les mômes que ceux de Rp? et de R|,— i. Mais Rp i est le polynôme de degré le plus élevé qui divise a la fois RP 2 et Rp< ; c'est donc aussi le plus grand commun diviseur de A et B.

2° Rp n'est pas nul. Tout diviseur de A et de B doit diviser Rp ! et Rp; Rp~! et Èp n'ayant pas de diviseur commun en x, les polynômes A et B sont premiers entre eux

On conclut de cette théorie la règle suivante :

Etant donnés deux polynômes A et B, on diuisc A par B, B par le reste R, de cette division, R, par le reste R2 de la deuxième division, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste nul ou à un reste indépendant de x. Dans le premier cas, A et B admettent un plus grand commun diviseur qui est le diviseur employé dans la dernière division ; dans le second cas, A et B sont premiers entre eux.

Voici des remarques qui simplifient les calculs :

1° Pour éviter les coefficients fractionnaires, si le premier terme d'un dividende partiel n'est pas exactement divisible par le premier terme du diviseur, on peut multiplier tous les coefficients de ce dividende par un nombre convenablement choisi.

2° Si tous les coefficients d'un diviseur sont divisibles par un môme nombre, on peut les diviser par ce nombre.

En effet, A et B ont les mômes diviseurs communs qu'un dividende partiel Yetle diviseur correspondant Vx, ou les mômes

que «V et V] on que V et ~ > pourvu que a et (3 soient indépen-

dants de a*.