A = A'D - A"DD', B = B'D = B"I)1V

A" et B" étant des fonctions entières, A et B auraient un diviseur commun DI)', d'un degré plus élevé que D.

2° Quand on multiplie ou divise deux polynômes A et B par un même polynôme C, leur plus grand commun diviseur est multiplié ou divisé par C.

Soient Q le quotient et R le reste de la division de A par B ; nous aurons A = BQ -f- II, et en multipliant par Ç :

AC = BC.Q4-RC.

RC est d'un degré inférieur à celui de BC ; donc, si l'on multiplie deux polynômes par un même troisième, le quotient de

(*) On multiplie le dividende et le dividende partiel de la seconde division par 3; le reste est divisé par — 35. Le quotient de cette division n'est pas

x — 1, mais - x

NEUBERG. — Algèbre.

— lift -

leur division ne change pas et le reste est multiplie'' par te troisième polynôme.

Cela posé, soit

A, B, R^Ro, ..., RP-?5 RP- i

la suite des polynômes que l'on rencontre dans la recherche du

plus grand commun diviseur de A et B. Le plus grand commun diviseur de A.C et BC conduit à la suite

AC, BC, Rfi, R2C, ..., RP 2C; Rp iC.

Par hypothèse, Rv ■> est divisible par Rp.i; donc Rp-gC est divisible par Rp iC Par conséquent, Rp ]C est le plus grand commun diviseur de AC et BC; il est égal au produit par C du plus grand commun diviseur de A et B.

La démonstration est analogue quand on divise A et B par un l'acteur commun C.

3° Tout polynôme qui divine A et B divine leur plus grand commun diviseur.

Car les diviseurs de A et de B divisent les restes successifs

1\ j , ho, ...