Théorème. — Tout polynôme ailier en x n'est décom
posable qu'un seul produit de polynômes premiers.
Corollaire. — I. Pour qu'un polynôme entier en x soit divisible ]>nr un autre polynôme entier en x, il faut et il suffît qu'il contienne tous les [licteurs premiers de cet autre, chacun nu moins le même nombre de fois.
1 1 . Le plus grand commun diviseur de deux fonctions entières de x est égal nu produit de leurs facteurs premiers communs, chacun de ces fadeurs étant pris avec le plus petit exposant qu'il porte dans lune ou Vautre fonction.
La démonstration des dernières propositions se fait comme celle des propositions analogues en arithmétique.
170. Théorème. — Si Von désigne par Rn R2, ..., Rk, ..., les restes successifs obtenus dans la recherche du p. g. c. d. de deux polynômes A et S, de degrés m et n respectivement, on a
Rk = AU* + BVk,
rk et Vk désignant des polynômes entiers en x dont les degrés sont respectivement égaux à n — nk i, m - nk i, si i\\ désigne le degré de R \ .
En effet, on a les identités
A BQ | R, B - = RiQ: h R,, R, - R.2Qo + R3 , ..., Rk 2 = R'k iQk-i l Rk, etc.
La première donne
Rj --=A — BQ = AUi +BVn
pourvu que l'on pose \Jl = 1, YL = — Q. Le degré de U^ est égal à n — n, celui de Vj à m — n. On a ensuite
R, -= B - RlQ1 = B — (A — BQ)Qi = AU, | BV2,
après avoir posé U2 ^= — Q15 V2 = 1 + QQ^ Le degré de U2 est égal à n — nlf celui de V2 à (m — n) -f- {n — nj = m — nï.
La loi se vérifie donc pour Rx (*) et lt2. Supposons-la établie pour tous les restes qui précèdent Rk, de sorte que
Rk, = AUk 2 + BVk.2, Rk! = AUk i + BVk i, (1)
\') B remplace R,„ et n{)-=n.
Uk 2 et Vk-i étant de degrés m — nk 3, n — ;ik--3, et ÏXk i, Vk-i de degrés m — Jik-2> n — /ik-2- Si l'on porte les valeurs (l) dans la relation
Rk-2 = Rk-iQk-i + R* on obtient
Rk - A(Uk, + Uk iQk-i) + B(Vk , - Vk-iQk-i) -AUk + BVk,
où
Uk == Uk-2 - Uk iQA-i, Vk = Vk„2 - Vk-iQk-i-
Comme /ik 2 > iik-i, Uk 2 est de degré moindre que Uk-i, et le degré de ITk est celui de Uk-iQk i ou égal à
(m — nk__2) -1- (nk 2 — n^x) == m — nk i.
De même le degré de Vk est celui de Yk-iQ,k-i ou n — /ik-i- La loi est donc générale.
171. Corollaires. — I. Si A et B sont premiers entre eux, on arrive à un reste numérique Rp. Le théorème précédent donne
Rp = AUp + BVp ou 1=AU-|-BV, U et V désignent p • p • Par conséquent :
JVp iVp
Quand deux fonctions entières A et B, de degrés m et n respectivement, sont premières entre elles, il existe deux fonctions entières U, V de degrés respectivement inférieurs à n et m, et telles, que Von ait identiquement
1 = AU H- BV.
Les fonctions II, V sont uniques; car si l'on avail
1 = AU' + BV, on aurait
par suite A qui est premier avec B, devrait diviser le polynôme V — V dont le degré est inférieur à celui de A. II. Si A et B ont un plus grand commun diviseur Rp. \, de
degré q, le reste Rp étant nul, on a l'identité
O - AL>4 BVP,
dans laquelle U"p et Yv sont des fonctions entières, de degrés n — q et m — ([. Cette propriété se déduit aussi des égalités
A = A'Rp i, 15 H'IVi
par rélimination de Rp i.
Des racines communes a deux équations.
172. Théorème. — Soient F(x) 0, f(x) 0 deux équations à coefficients numériques. Si les polynômes F(x), f(x) ont un plus grand commun diviseur ©(x), Véquatîon »(x) 0 a pour racines les racines communes aux équations proposées.
En effet, on a les identités
F(x) =--■ <p (x)Fl{x), f(x) = ?(jc)/\(x),
où F^-v) et fi(x) désignent des fonctions entières, premières entre elles. Toute racine de ®(x) est racine de F (a-) et de f(x) ; réciproquement, si a est m fois racine de F(x) et n fois racine de f(x) et que m <ji, [x — a)m divise F(x) et f(x), et r sui te est diviseur de r^(x).
Application. — Bésoudre l'équation
xi — 4x3 + 4x2 — 4x -f- 3 = ( i , ( 1 )
sachant que l'une des racines est triple d'une autre.
Soient 3a et a ces racines ; 3a est aussi racine de l'équation qu'on obtient en multipliant par 3 les racines de (1). Cette transformée est
œi — \2xz + 36x* — 108tf + 243 = 0. (2)
Les premiers membres de (1) et (2) ayant pour p. g. c. d. x — 3, on a 3a = 3, a = 1. Divisant ensuite le premier membre de (1) par le produit (x — 3) (x — 1) et égalant à zéro le quotient A'2 4- 1» on voit que l'équation proposée a pour racines
