Résultant de deux polynômes (*). — Soient

F(x) == A0xm -h A^1»-1 4- ... 4- A, f{œ) = B0x* 4-B^11-1 + ... IrJBn

(*j Dans cette partie du Cours, nous supposons connu le théorème il 1.8). La méthode exposée ici est due à Euler.

deux polynômes à coefficients indéterminés. Pour qu'ils aient au moins un facteur linéaire commun, une certaine fonction de leurs coefficients doit être nulle ; cette quantité est appelée le résultant ou l'éliminant des polynômes F(x) et f(x).

Si rf(x) est le produit de /) facteurs linéaires communs à F(x) et à f(x), on peut poser

F(a») = vWF^x), f(x) = = ?0*)/\ W, (1)

F^a*) et:f\{x) étant des fonctions entières de degrés m — p et 7i — />. De ces égalités, on tire V identité

Réciproquement, lorsqu'il existe deux polynômes F x(x) et fi(x)t de degrés m — p et /z — />, qui rendent identiquement nulle l'expression

F(x)ri^-f\x)¥l(x), (3)

Fuv) et /'(a;) ont un p. g. c. d. qui est au moins de degré p. Car F(.v) divise le produit /'(a^F^y , et au plus ni — p facteurs linéaires de F(x) appartiennent aussi à F^.y,; donc F(.v) et f(x) ont au moins p facteurs linéaires communs.

S'il n'existe qu'un seul système de polynômes Fx(x) et f\ x , de degrés m — p et n — p, qui rendent identiquement nulle l'expression (3), le plus grand commun diviseur de F(x) et f\x) est de degré/). En effet, s'il était d'un degré supérieur iip, F(.vi et f(x) auraient plusieurs communs diviseurs de degré /), et les égalités (1) et (2) auraient lieu de plus d'une manière.

Pour fixer les idées, supposons m = 5, n — S, de sorte que

Si les équations F(;v) 0, /'(.v) 0 ont une seule racine commune, il existe un seul système de deux polynômes du 4e et du 2e degré,

F^x) = — arr4 — a2#3 — a3or — a4a; — a5,

tels, que l'on ait identiquement

P(»)(?i^ I -,V I M I /'(•'■) IV1 I V3 I Ve h V I »5) =0.

Or

a?*F(j?) =±A0rc> \ \rr" | A2a>5 h A3a< + A4a?8 + A5#2 .rF A,,r'; |- A^5 + A2a?4 + A3o?3 hA4a?2 ! A5a?

oo*f(x B0a?7 I- i:rt"; -f B,a-' -f B3«?4 .rVi.r) -= B0#6 |- B1£D5 + B2a?4+ B3a?8

.r-y ,r B0/r5 -f Brr4 -f- B2a?3 -f B3a?2

r/vo = B0*4 + B^3 + B2a?2 ■ | - B3a?

f[œ) B0x* \-Bvv- -\-\V\v \-])3

Ajoutons ces égalités après les avoir multipliées respectivement par

*m «3î a4> ani (5)

le premier membre étant F(x)fl(x) — f(x)F](x), le second membre doit être identiquement nul, ce qui donne les équations de condition

A0P, + IVi =0, \

A,p1+A1pg |-AAiB2a, =f B]«. + B0«, -0,

A,?, + A23, +- A^3 |- B3a, + B2a2 -f- Bta3 -f B0a4 = 0,

A,^ + AA 4- A333 [- B3a3 -f B,a4 f- Bx*5 = 0,

Ce système comprend huit équations homogènes par rapport aux huit inconnues (5). Par hypothèse, celles-ci ou plutôt leurs rapports ont des valeurs déterminées. Il en résulte (78) que le déterminant de ce système doit être nul. Ce déterminant, transposé, est

A0 A, A2 A3 A4 A5 A0 Ax A2 A 3 A4 A 5 B0 Bt B, B3 B0 B," B2 B3 B0 B, B, B3 B0 Bl B2 B3 B„ Bx B, B,

la place des éléments nuls a été laissée vide.

R est le résultant cherché. Dans le cas général de deux polynômes F(x), f(x) de degrés m, n, il est d'ordre m -j- n ; les n premières lignes renferment les seuls coefficients de F(x), les m dernières les seuls coefficients de f(x) ; le terme diagonal est AoBn- K s'annule lorsque A0 = 0, B0=^0; effectivement, les équations ¥(x) = 0, f(x) = 0 ont alors en commun une racine infinie.

Nous supposerons A0^=0, B0 ^ 0. Les inconnues (5) sont proportionnelles aux mineurs relatifs aux éléments d'une même colonne de R ; car si A15 A.,, ... As sont ces mineurs, la somme des produits des éléments d'une colonne quelconque de R respectivement multipliés par Al5 A2, ... As est nulle, et les égalités ainsi obtenues ne diffèrent des équations (6) que par le changement de pn p2, . . en Aj, A2, —

Faisons correspondre A15 A2, ... aux éléments de la dernière colonne de R ; alors

A^BoRi, A4=-~A0R1} où l'on a posé

A0 A1 A2 A3 A4 A5 Ao Aj A2 A3 A4 B0 Bt B2 B3 B0 BL B, B3 B0 B, B2 B, B0 Bj B2

comme px : aL = At : A4 et que ¥(x), f{x) ont un seul facteur linéaire commun, on a nécessairement Rj =£ 0.

174. Cas de deux racines communes. — Dans l'expression (3), nous pouvons maintenant prendre pour F^ac), f\{x) des polynômes de degré m — 2, n — 2. Considérons le cas particulier de m = 5, n = 3; nous obtenons les équations de condition en faisant, dans les égalités (6), a, = 0, ,px = 0. Nous aurons ainsi le système

A0p2 + B0a2 - 0, A-iPo + A0p3 -|- B^o J- B0*3

A2p8 + A1p,+.BA'+--Bi*8 + B0a4 0,

A4pa + A3p3 -| B3a3 + B?a4 I B^g 0,

\,?... ! Â4pa "hB3a4 + B2a5 I),

Ri

composé de sept équations homogènes à six inconnues. Cinq de ci's équations suffisent pour déterminer les rapports des inconnues; pour que le système soit possible, il faut que le déterminant ayant pour éléments les coefficients de six quelconques de ces équations soit nul (78). On a donc, en adoptant une notation connue (79),

Bq I)} 1)., Bg

B0 Bj B, B3

c'est-à-dire les déterminants formés avec six quelconques des colonnes du tableau rectangulaire précédent sont nuls (*). Si l'on supprime la dernière colonne, on trouve le déterminant désigné ci-dessus par 11,.

Les valeurs de [',, 33, a2, ... sont proportionnelles aux mineurs relatifs aux éléments d'une même colonne de l'un des déterminants (8), par exemple de 1Rl. En particulier, (32 et a., sont entre eux comme les mineurs correspondants au 1er et au 3(1 élément de la dernière colonne de Rl9 mineurs qui sont égaux aux produits de B0 et de — A0 par le déterminant

On a donc R., ■£ 0.

Ces développements s'étendent facilement auKcas général de deux équations de degrés m et n, ayant p racines' communes.