Méthode dialytique de Sylvester. — Soient les équations

(*) Ces déterminants sont les cof acteurs des déterminants partiels formés

avec la ire et la ^ ligne de R. De celte remarque et du théorème de Laplacc (49), on déduit que L'égalité multiple (8) a pour conséquence R = o.

Une racine commune satisfait aux égalités

r-VLr) = 0, xF{œ) = 0, F(x) == 0, I

Ce système est linéaire par rapport aux quantités

rv%i >•*> /y* 5 /y» 4 /y»o /V»2 ^»

iA/ • tA, a *Aj m tAs • • ' « ■ ' • > * *

que nous traitons comme des inconnues distinctes. Puisqu'il y a une équation de trop, le déterminant ayant pour éléments les coefficients des équations (9) doit être nul On retrouve ainsi la condition R == 0 (173). De plus, si 8,, o,, ..., 8g sont les mineurs de M relatifs à une même ligne, la racine commune satisfait

Supposons ensuite que les équations F(x) - 0, \\x\ = 0 aient deux racines communes. On a encore li -— 0; mais les mineurs de U sont également nuls, car le système linéaire (9) a plus d'ijne solution. Dans ce cas, si entre les équations

xF(x) = 0, F[.r) = 0, x*f(x) 0, xzf(x) = 0, xf{x) = 0, f[x) = 0,

on élimine cinq des quantités

tA/ ■ «A/ • lA/ • tA/ « <>*/ • tA/ •

aux égalités

on obtient une équation du premier degré par rapport à l'inconnue restante x\i = 1, 2, ..., 6); comme elle admet deux valeurs pour x\ le coefficient de x] et le terme indépendant doivent être séparément nuls. On trouve ainsi que les déterminants formés avec six colonnes quelconques du tableau rectangulaire

sonl nuls ; l'un {Vaux cstle déterminant désigné ci-dessus par M ^ .

Soient n et b les deux racines communes aux eqrtations proposées. Au lieu des équations (11), ou peut considérer les suivantes

àF(a) 1 bF(b) 1

asf(a) 1 b*f(b) 1

af\a) 1 bf{b) 1

qu'on peut écrire ainsi après avoir posé a? — /;''

À0«6 | A^g f A2W4 -f AgtÉg | \,X., + ^5Ul 0,

A0", + \lu4 -f A2w3 | A3w2 + Aj«, = 0,

B0u5 | Bxtt4 -f B,w84-Bi«a -0,

Bo^ + B^, r-B.w.+'Bs*! =0,

B0Wg 4" BjMg -f- 1>0^'1 = 0.

Pour qu'elles aient une solution non mille, le déterminant des coefficients doit être nul, ce qui donne R} - 0. De plus, les quantités u6, u:>, .. , u{ sont proportionnelles aux mineurs de U , relatifs aux éléments d'une même ligne. r)

Système de deux équations a deux inconnues.

176. Réduction du système primitif. Soit à résoudre le système de deux équations non homogènes à deux inconnues

Si l'on ordonne F(x, y) par rapport à y, les coefficients peuvent avoir un p. g. c. d. X, l'onction de. v ; soit F(xfy)~"Xf(xi y).

[*) Pour une étude plus complète sur l'élimination, le lecteur peut consulter les écrits suivants :

DARBOUX, Sur la théorie de l'élimination (Bull des Sciences math, et astr.,

1876); Lemonnier, Mémoire sur V élimination (Ann. de l'Ec. normale sup., 1878); ROUCHÉ, Sur l'élimination (Xouv. Ann. de Math., 1879); MANSION, Sur l'élimination (Bull, de l'Acad. de Belgique, 1878 et 1879) ; Biehler, Sur la théorie des équations (Paris, Gauthier- Villars, 1879) : Sur l'élimination (Nouv. Ann., 1882);

Sur l'élimination par la méthode d'Euler (Xouv. Ann., 1887): Pomey, Sur le plus grand commun diviseur de deux polynômes (Nouv.

Ann., 1888.

Le polynôme /(«y, y) étant ensuite ordonné par rapport à x, les coefficients peuvent avoir un p. g', e. d. Y, fonction de y; soit f[x, y) = Y<ï(x, y). Alors F(x, y) = XY»(at, y). Supposons de même Y^x, y) = XjY^f ^x, y). Le système proposé prend ainsi

la forme

XY?(«, y) - 0, XtY^jK y) = 0. (1)

Si les équations X = 0, X^ = 0 ont une racine commune «v = a, le système (1) est vérifié par x = a et par une valeur quelconque de y. De même, une racine commune aux équations Y = 0, Yj =0 et une valeur arbitraire de x constituent une solution des équations (1).

Soient a une racine quelconque de X = 0, b une racine de Yj = 0 ou de ^(a, y) - 0; le système (1) admet la solution x = a, y = b. De même, une racine b de Y = 0 et une racine de Xj = 0 ou de »!(#, b) = 0 résolvent les équations (1).

D'autres solutions s'obtiennent en combinant une racine a de Xj == 0 avec une racine de »(a, y) = 0, ou une racine b de Yj = 0 avec une racine de œ(a', 3') = 0, ou une racine b de Yj = 0 avec une racine de ®(x, b) = 0.

Enfin, il reste à résoudre le système

?K y) = 0, ?iK y) = 0. (2)