Elimination par le plus grand commun diviseur

Soient A, B les premiers membres des équations (2) ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x. Divisons A par B; appelons Q le quotient et R1 le reste, de sorte que

A = BQ -f R,.

Si la division s'effectue sans introduire y en dénominateur, toute solution du système [A = 0, B = 0] vérifie l'équation U, = 0, et toute solution du système [B — 0, Iv, = 0] satisfait à l'équation A = 0. Le système [A = 0, B = 0] est donc équivalent au système plus simple [B = 0, lv j = 0].

Divisons maintenant H par RD R, par le reste de cette division; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste r indépendant de x. Pour fixer les idées, soient

A = BQ + Rlt B =R1g1 |-R2, R, R2Q2 ] RS) R2 R3Q2 ■ r

les égalités qui traduisent ces différentes opérations. Si les quotients Q, Q,1} Q,>, Q3 sont entiers par rapport à y, le système

[A = 0, B - Ô] est équivalent au système [Ra 0, r = 0|.

Trois cas peuvent se présenter :

1° /* est fonction de y. L'équation /* = 0 donne les valeurs cherchées de y; si Ton substitue l'une de ees valeurs dans R3, l'équation K;î = 0 donne les valeurs eorrespondantes de x.

2° r est numérique. Le système [R3 = 0, r = 0| étant impossible, il en est de môme du système proposé.

3° r est identiquement nul. R3 divise R2 et par suite Rx, H et A ; on peut doue poser

A R3A', B = R3B', R, ll,\l\, R2 = R3QS.

Le système [A — 0, B = 0| peut être remplacé soit par l'équation R3 = 0, soit par le système [A' = 0, Br = 0]. Mais les équations A' 0, B' =0 n'ont pas de solution commune; car en divisant les deux membres des égalités

A == bq + Ri, R - - RxQi h R», Ri == R2Q2 + R3

par R3, on obtient

A' = B'Q -f- R'i, B' = R'iQ! -f R'2, R\ = R',Q2 + 1,

<le sorte que le système [A' 0, B' — 0] rentre dans notre second cas.

178. Solutions étrangères. — La recherche du p. g. c. d. des polynômes A et B introduit ordinairement des dénominateurs fonctions de y. Pour les éviter, on multiplie A par un facteur convenable C, fonction de y. Soient alors Q, le quotient et R^i le reste, vx étant le p. g. c. d. des coefficients du reste ordonné par rapport à x. Nous aurons ainsi

CÂ = BQ | R^v

Toute solution de [A = 0, B = 0] appartient à l'un des systèmes

Mais une solution de l'un de ceux-ci peut satisfaire soit au système primitif, soit au système [B = 0, C = 0]. Toutefois, si l'on a eu soin de débarrasser B des facteurs en y communs à

tous ses coefficients el de mi il (i plier A par le facteur 0 le plus simple qui évite les dénominateurs, les solutions du système [B = 0, y, = 0] n'appartiennent qu'au système primitif [A 0. B = 0]. En effet, soit y |3 une racine commune aux équations Vl 0, C =0; si l'on remplace y par [i, l'identité CA = BQ + K\l)\ devient BQ = 0; on ne peut avoii' BQ = 0 pour toute valeur de x (jue si tous les coefficients de B ou ceux de Q s'annulent, c'est-à-dire sont divisibles par y — 2. Le polynôme B étant supposé débarrassé de tout facteur commun à ses coefficients, Q est divisible par y — : p.; dès lors, il aurait suffi de multiplier

A par ■ au lieu de C pour obtenir un quotient entier.

An système j A = 0, B = 0] on peut donc substituer les deux systèmes

[B = 0, R, - 0], [B - 0, rx = 0],

pourvu que l'on écarte les solutions de j B = 0, R1 — 0] qui vérifient l'équation C 0 sans satisfaire à A 0. L'une des équations du système | B — 0, uï 0} ne renfermant qu'une seule des inconnues, sa résolution ne présente pas de difficulté particulière. Quant au système jB = 0, R, 0], on le traite comme le système primitif (*).