Elimination par la méthode dialytique. — Ordonnons
A et B par rapport aux puissances décroissantes de x. Soient alors
AeeAo^'+A^--1 -I- ... + Am, BeF^+B1^-1 +...+B„,
les coefficients Aj, Bj étant des fonctions entières de y. Si x = <•*. y b est une solution du système |A = 0, B - 0], les polynômes A et B, après le remplacement de y par b, acquièrent un diviseur commun x — a; donc leur résultant E doit être nul (173). Formons ce résultant en laissant subsister y dans les coefficients Ai, Bj : l'équation R = 0 sera Yéquation finale en y.
M. Labatie, ancien professeur à la l'acuité de Strasbourg, a fait connaître en 1832 un théorème qui résout toutes les difficultés <lc l'élimination par le p. ^'. c. d. iVoir le ('ours d'algèbre supérieure, par M. J.-.Y. Senret, t. I,.p 198, 3« édition).
Pour trouve!' U, on éliminera, ainsi que nous l'avons vu i!75) entre les équations
.'" lA 0-, .''n -A 0, . ., xh 0, A = 0,
x™ lB 0, x™ 2B = 0, ,'.rP, = o, U 0.
Applications.
180. Equation aux sommes des racines deux à deux. — Etant donnée l'équation F(x) — 0 de degré m, cherchons l'équation f(u) = 0 ayant pour racines les sommes des racines de F(.v) = 0 prises deux à deux.
L'inconnue u a CJn valeurs; le degré de f(u) est donc ^m{m — 1).
Si .Vj, x2 sont deux quelconques des racines de F(.v) = 0, et n leur somme, on a les égalités
u -- xx + a\2, Ff.rJ = 0, F(x2) = 0,
entre lesquelles on doit éliminer x\ et ,y,. L'équation en u sera, donc le résultat de l'élimination de x} entre
La dernière équation peut être remplacée par l'équation
dont le premier membre est divisible par (iz — .vj - v,, et qui, par suite, a la forme
(u~ 2x[)^(u,.xl) - 0.
Si l'on élimine a*! entre
Ff-rO — O, m — 2.^ =0;
on trouve l'équation
qui est étrangère au problème : elle suppose que dans la formation des valeurs de u, on ajoute chaque racine de F(x) = 0
— i'èo -
à èîle-inènie. L'équation deiùaudéé s'obtient en égalant à zéro le résultant des polynômes F(\*), '±(u, x).
181. Equation aux carrés des différences. — Etant donnée l'équation F(x) = 0 de degré m, formons l'équation /(//) — 0 dont les racines soient les différences deux à deux des racines
de V(x) =- 0.
L'équation f(u) = 0 s'obtient en éliminant xlt x2 entre
u = T2 — ccx , F(x1) — 0, F(a?2) == 0, ou en éliminant .vt entre les deux équations
dont la dernière peut s'écrire ainsi
F(a?1) + uF^1)4:ï^-F>)'+...«0.
Le système (1) peut donc se ramener aux deux suivants :
FK) = 0, u 0; (2J
F(.r,) = 0, !<>,) I- ■ F"(.r,) + ... + j - -- FM^ = =. 0. (3)
Le système (2) correspond aux valeurs de u qu'on obtient en combinant chaque racine de F (se) = 0 avec elle-même. L'équation demandée f\ u) = 0 correspond au système (3); par suite, on égalera à zéro le résultant des polynômes
Le degré de [{ri) est égal au nombre des arrangements de m objets deux à deux, ou égal à m(m — 1); mais les valeurs de u étant deux à deux égales et de signes contraires (deux valeurs sont, par exemple, xx - x2, .v2 — x{), f(u) ne renferme que des
puissances paires de u et s'abaissera au degré ^Jn(m — 1) si
Ton pose u2 v. L'équation en v est dite Y équation aux carrés des différences de la proposée.
Exemple. — Soit
F(a?) - a*3 + px h q.
L'équation auxiliaire Im.y | u) == 0 se ramène à
o.f- | 3xu |- u2 ■ | - ji - 0. Appliquons le procédé du p. g. c. cl. aux polynômes
.r:' \- jt.r \- q, 3x~ -|- 3xit f- II2 -j y;
cl égalons à zéro le reste ; nous aurons l'équation cherchée
w6 -I- 6pw4 1- 9p-u2 |- (4jo3 + 27?2j 0, qu'où ramène au 3e degré en posant u2 — u.
Exercices et notes.
