Exemples. — I. Trouver la condition pour que l'équation

x3 -\-px -f- q = 0 (1)

ait une racine double.

Ç ) On peut sous-entendre que y est une variable d'homogénéité dont la valeur est arbitraire on e£ale à l'unité.

Si l'on rend l'équation homogène, on est conduit à exprimer que les équations

Sx2 -h mr = 0, 2pxij -f 3qi/2 = 0,

ont une racine commune. En faisant y— 1 et remplaçant dans la première équation x par sa valeur tirée de la seconde, on obtient

4ps + 27qz = 0.

On trouve la même condition en exprimant que l'équation aux carrés des différences de (2j a une racine nulle (181j. TT. Considérons l'équation complète

ax5 -f 3bx2 4- 3csc -f- d = 0, (2)

ou sous forme homogène

ax3 + 3bxhj -f- 3cx\f~ -f cfy3 = 0.

Une racine double satisfait aux équations dérivées :

ax2 -f- 2to/ -|- Ql/2 =■ 0, &c8 + 2cxy -\- dy2 — 0.

Si l'on élimine, tour à tour, y2 et a*2, on obtient les égalités

(ad — bc)x + 2(ôrf — c2).?/ = 0, 2(62 — ac)œ -f (ôc — a<% = 0. Entre celles-ci il est facile d'éliminer les variables; on trouve

{ad — bef — 4(ac — b2) (bd — c2) = 0. (3)

Comme l'équation (2) peut se ramener à la forme xs-\-px-\-q=Q,

le discriminant peut être mis sous la forme 4p3 -f- 27^2. Effectivement, si l'on multiplie l'égalité (3) par a2, quelques transformations faciles donnent

(2b3 - Sabc + ca2)2 -f 4{ac - b2f = 0.