Trouver les conditions nécessaires pour que l'équation
x* -f Ax2 -f Bai -j- C = 0
ait une racine triple.
Tirer x de F"(x\ = 0 et substituer la valeur dans F(x) = 0, F'(a?) = 0; ou identifier F(#) avec (x — a)3 (x — b).
4. Trouver les conditions nécessaires pour que (.v 4- yp divise
5. Trouver les racines multiples de 800 .v1 — 103a;2 — x |- 3 - 0.
Il est avantageux de remplacer x par - •
ce
il. Exprimer que l'équation .v"1 | />.\ | q 0 a nue racine double "I. Déterminer un polynôme entier en x du septième degré F(aj), sachant que'Fi .v) -f- 1 est divisible par (x — 1 )' et Fi.v) — 1 par (.v [- l)4. Quel est le nombredes racines réelles de l'équation F(a?) = 0?
(Ecole normale de Paris, 1889.) F'i.v) a la racine triple l'et la racine tri}>le — 1 ; donc
F'(.r) ~a(œ — If (x h l)3 = a(xQ — 3x4 + 3.x2 — 1), n étant une indéterminée. On en déduit
Les conditions F(l) -f 1 = 0, F(— 1) — 1 = 0 donnent b = 0, a = ^4 .
L'équation F(jc) = 0 a la racine x = 0 et deux autres racines réelles égales et de signes contraires (A déduire du théorème de llolle, cliap. XI).
S. Soient F(x) et f[x) dux polynômes premiers entre eux. Prouver que si l'équation F2(x) -\- fl(x) = 0 a une racine double, cette racine vérifie l'équation
