Si l'on multiplie les coefficients d'une équation

F(x) = AoX"^ + Al x^-' + ... + A„ ==

par les termes correspondants d'une progression arithmétique, l'équation nouvelle a au moins une racine entre deux racines consécutives de F(x), excepté entre la plus petite racine positive et la racine négative qui précède

Soient c - mb, c - (m - \) b,..., c la progression. L'équation nouvelle est Fi (x) = cf(x) - bxF(x) = 0. Appliquer l'exercice 8.

Corollaire. - Si F(x) a p racines positives, n racines négatives, v variations, et quep, /ï, i', sont les mêmes nombres relatifs à Fj (x), on a

Pi ^A riy^n, ou pi^p - l,n,^n - If

suivant que les termes de la progression c - mb^ c - (m - 1) A... ,r sont tous de même signe ou qu'il j^ en a de positifs et de négatifs.

Car chacun des intervalles formés par les racines positives de F(x) comprend au moins une racine de Fj (x), d'où P\'^P - 1. Dans le 1"

cas, V = V] ; V - p ti v\ - p\ étant des nombres pairs, p\ - p est pair, et l'on a pi^p. Dans le 2dcas, v et v\ sont de parités différentes, etc.

1 ' 1.2 •• • 1.2../Î ne peut avoir deux racines réelles. (Sylvester. Londres, 1814-1897).

On a F{x) - F\x) = -^-^ ; appliquer l'exercice 5.

(•) Nous disons ici que des nombres rangés par ordre croissant séparent les racines d'une équation donnée lorsque deux termes consécutifs de la suite comprennent une seule racine ou n'en comprennent aucune.