Soit F{x) une fonction entière de degré m, et posons

F,(x) = F(jr)-*(x-A)F(jr);

deux racines consécutives de F{x) comprennent un nombre impair de racines de Fi(ir; (on suppose F (A) / 0).

La suite formée par - 00, les racines de {x - X) Fi{x) et + 00 peut servir à séparer les racines de F (x). (Warino.)

En effet: lo Si a est )t7 fois racine de F (x), il est (p ~ \) fois racine de F i (./•). 2o Si h est un nombre positif assez petit,- ¥(a - h) fi(a - h) a le signe de k(a - X), tandis que F(a + h) Fi(a + A) a le signe

contraire. Donc, a et ô désignant deux racines consécutives de ¥{x), f(a -}- h) et ?(b — h) ont le même signe, et le produit Fi(fl + Aj Fi (ô- A) a le signe de — (a - A» (ô - X). Par conséquent, s\ a < b < X om k < a *^ b, a et ô comprennent un nombre impair de racines de Fi{x) et si a < X < b, a ti b comprennent un nombre pair de racines de Fi(a;) ou un nombre impair de racines de l'équation {x - X) Fi(a7), etc.

Remarque. - Si ?(x) 2ip racines réelles, f\(x) en a au moins (p - 2)\ elle en a au moins p lorsque X n'est pas compris entre la plus petite et

la plus grande racine de ?(x) et que k /- — » car F(:^r) et f\(x) étant de

même degré, les nombres de leurs racines réelles sont de même parité.

Réciproquement, si Fi(a?) a ^ racines réelles, ?(x) en a, au plus, q + 2.

9. Soient /(x) le quotient et (p (x) le reste de la division de F(x) par F'(x). Les racines de F'(x) = séparent celles de (p(x) = 0, et les racines de l'équation f{x)(p{x)= séparent celles de F(x) = 0(*).

Pour toute racine a de F(x') =0, on a F(fl) = (p{a), et si F'(x) est divisible par (x - û)p et que F{a) = 0, F(x) et (p{x) sont divisibles par {x — fl)p . Pour la seconde partie du théorème, on applique l'exerdce 8 à F(x) - /(x) F'(x).