Soit F(^) une fonction entière de degré /n, et soit

/{x) = Oo + a^x 4- ûoX^ + ... + ûpJfP

une fonction dont toutes les racines sont réelles. On effectue la division de 1 par /(a?) suivant les puissances croissantes de x; soit

le quotient ainsi obtenu. Démontrer que la fonction

(p{x) = b.Fix) + b,F{x) + b,?"{x) + . . . + é„F(«»^ (X) a. au plus, autant de racines réelles que F{x). (Poulain.)

Il suffit de démontrer (ex. 6) que

Or, si l'on arrête le quotient t-t au terme ^ma?™, le reste correspondant a la forme a7ni4-iV'(^),V(^}<^ésignantunefonctionentière, et l'identité

1 = (60 + 6iJf + ... + b^x"^) (ûo + fl,xH-... + a^) -f;c"»H^,(x)

donne les és:alités

OÙ l'on suppose «1 = si / ^ p^ ti bi =^ si / ^ /w. On a ainsi les relations

cp(x) = Kf{x) + bf\x) + ... + 6„,F-)(x), cp\x) = boFix) + ... + 6™.F(-)(x),

9?(«»(x) = *oP"'H^) ;

ajoutons-les membre à membre après les avoir multipliées respectivement par flo Al f • • • Am, et tenons compte des relations (a) etc.

15. Soient /«„ , rtii , /»« , ... /Wm les coefficients du développement de (1 -\- 2)". Démontrer que l'équation

ml -I mjx + mlx^ + ... -h /TZmX" =

a toutes ses racines réelles. (H. Laurent)

Cette question ne diffère pas essentiellement de l'exercice 3. En effet, si l'on pose « = (z* - 1)™, l'équation u(m) — a /w racines comprises entre - 1 et + 1. Or, si l'on pose a^ (z - 1)"», ^ ^ (2 + l)nï, on trouve

Le terme général de u{m) est /Wna^"^^<»"-"^ ou

- 1.2.3.../7i./wJ(z- 1 )"» -" (^+ 1)°.

Donc, si l'on fait , = a:', on a