THÉORÈME DE STURM
201. Fonctions de Sturm. — Soit V = une équation algébrique, à coefficients réels et n'ayant pas * de racines égales, et soit Vi la dérivée de V. Faisons sur V et Vi les opérations du p. g. c. d., mais en changeant à chaque opération le signe du reste, et en prenant le reste ainsi modifié pour diviseur de la division suivante.
Désignons les restes, changés de signe, par Vg, V3,...Vr, et les quotients par Q,, Q2,...,Qr-i; nous aurons les identités:
V = V,Q, - V„ Vi = V,Q, - V3,
n+lt
Vr-. = Vr.Q.. - Vr.
Les fonctions V, V^ n'ont pas de facteur commun, puisque les racines de V - sont inégales ; donc le dernier reste Vr est indépendant de x et différent de zéro.
On appelle fonctions de Sturm les quantités
202. Théorème de Sturm. — Soit W une équation algébrique à coefficients réels et qui n'a pas de racines égales. Le nombre des racines réelles de cette équation^ comprises entre deux nombres réels a^ ^ (« <! /î), est égal au nombre des variations perdues par la suite de Sturm relative à V, quand on substitue à x le nombre a, puis le nombre p.
Autrement dit : écrivons sur une première ligne les signes des résultats qu'on obtient en remplaçant dans la suite des fonctions de Sturm x par a ; écrivons sur une seconde ligne les signes des résultats qui correspondent à x = /î. Soient na le nombre des variations de la première ligne, np celui
de la seconde ligne : la différence na — np est égale au
nombre des racines de V, comprises entre a et /S.
Le théorème résulte des propriétés suivantes de la suite (2) :
lo Les fonctions V, Vi, Vj, ..., Vr i sont continues.
2o Le dernier terme Vr a un signe invariable.
30 Deux fonctions consécutives ne peuvent s'annuler pour une même valeur de x
40 Si une valeur x = y annule une fonction intermédiaire Vn, les fonctions voisines Vn-i et Vn^-i ont, pour x -- y, des valeurs de signes contraires.
50 Enfin, quand x traverse, en croissant, une racine de
réquation V = 0, le rapport r^ passe du négatif au positif.
Les deux premières propriétés sont évidentes. Pour démontrer la troisième, considérons l'identité
Si une même valeur de x annulait Vn et Vn+i, elle annulerait aussi Vn-i; annulant Vn i et V„, elle annulerait Vn-2; et ainsi de suite. Donc V et V^ aurait un facteur commun, ce qui est contraire à Thypothèse (182).
Soit y une racine de Vn - ; si Ton remplace x par y dans l'égalité (3), on trouve Vn-i = — Vn-f i. Donc Vn-i et Vn+i ont des signes contraires pour toute valeur de x annulant Vn.
Si y désigne une racine de V -- 0, le rapport -rr- est négatif
pour X = y — h et positif pour x ^ y + h (193).
Cela posé, faisons croître x d'une manière continue de a à ^8. La suite des signes des fonctions de Sturm ne peut éprouver de changement que lorsqu'une fonction passe par zéro. Examinons successivement le cas où x passe par une valeur annulant une fonction intermédiaire V,, Vg, ..., Vr i, et celui où X passe par une racine de V.
Soit y une racine de Vn ; pour x == y, Vn-i et Vn^-i ont des signes contraires. Si h est suffisamment petit pour que Vn-i et Vn-^i ne s'annulent pas dans l'intervalle {y — A, y -\- A), les signes des fonctions Vn-i, Vn, Vn4i sont, par exemple,
Vn-i, Vn, Vn+,
Quel que soit le signe de Vn pour x ^ y — h ti pour
X = y -f A, les trois fonctions présentent une seule variation,
tant pour x = y — h que pour x = y + h; seulement la
variation se déplace si Vn change de signe au passage de x
par la valeur y.
Si y désigne une racine de V, le rapport -rj- est négatif
pour X ^ y — h, positif pour x -^ y + h ; donc, quand x traverse, en croissant, une racine de V, la suite de Sturm perd une variation qui était placée entre V et Vj.
D'après cela, lorsque x croît de a à /î, la suite de Sturm perd une variation chaque fois que x passe par une racine de V et n'en perd que dans ce cas ; en outre, elle n'en gagne jamais. Donc la différence entre les nombres de variations qui correspondent respectivement à jc = /î et à jc -- a, est égale au nombre des racines de V, comprises entre a et /î.
203. Remarques. — I. Pour faciliter les divisions qu'exige le calcul des fonctions de Sturm, on multiplie, s'il y a lieu, un dividende par un nombre convenablement choisi ou l'on divise un reste par un facteur commun à ses coefficients (*). Les facteurs introduits ou supprimés doivent être positifs.
II. Si l'on sait qu'une fonction Vp de la suite de Sturm conserve un signe invariable dans l'intervalle (a, fi), on peut arrêter la suite à Vp. Cette remarque résulte de la démonstration donnée ci-dessus.
III. Le théorème de Sturm est applicable. à toute suite de fonctions V, Vi, ... Vr jouissant des propriétés énoncées ci-dessus ; il n'est pas nécessaire que V, soit la dérivée de V ni que les fonctions se déduisent les unes des autres par le procédé du p. g. c. d.
