Les équations binômes sont celles qui ont la forme

A étant une quantité donnée. Les solutions de l'équation (1)

sont les différentes déterminations de yA.

Soit a Tune de ces solutions. Si Ton remplace A par a" et qu'on pose y =ax^ l'équation (1) se ramène à ac^— 1 = 0.

Donc les différentes valeurs de Y A s'obtiennent en multipliant a par les différentes racines m^s de 1.

Si A est positif, on peut prendre pour a la racine m^ arithmétique de A. Si A est négatif et que a représente la racine me arithmétique de sa valeur absolue, on trouve, en posant encore y ~- ax^ l'équation x" -f- 1 = 0, de sorte que les valeurs de x sont les produits de a par les différentes

valeurs de y — 1. On peut donc distinguer quatre cas, représe;ntés par

Le second se ramène au premier par le changement de

.V en — X. L'équation x^" — 1 = se décompose en deux

autres

Si n est impair, les équations ^1) sont comprises dans les deux premiers cas ; si /z est pair, la seconde rentre dans le

quatrième cas, et on peut continuer la décomposition de la première. 11 y a donc deux équations binômes distinctes ;

AT-n+i — 1=0, a:*» + 1 = 0.

Propriétés des racines de l'unité.

217. Théorème. — Toute puissance (tune racine m^ de Vunité est aussi racine m^ de V unité.

Soit a une racine me imaginaire de Tunité. De a"* = 1, on tire [a^Y = (a°)"* = 1 ; donc a° est une racine me de runîté.

D'après cela, les termes de la suite

sont des racines mes de Tunité. La suite est périodique: la période comprend au plus m termes; car, de a" = 1, on

conclut a™+> -= a^a == a, a«>+2 ^ am^2 ^2^ etc.

218« Théorème. — Les racines communes à deux équations

sont également racines de [équation

jco — 1 = 0,

d étant le p. g. c. d. des exposants m et n.

Soit /w > /z ; si 9 est le quotient et r le reste de la division de m par n et que a désigne une racine commune aux équations (2), on a

a°» — 1 = an^J^»^ — 1=0, a° - 1 = 0.

La première relation se réduit à a'— 1 =0, car a"^+«" =(a°)W. Donc a est une racine commune aux équations

X^ — \=Q^ jc' — 1 - 0.

D'après cela, si r, f^f\,„d sont les restes des divisions que Ton effectue pour trouver le p. g. c. d. des nombres m ti Uf a est racine de chacune des équations

Donc toute racine commune aux équations (2) appartient à l'équation (3). Réciproquement, toute racine de Téquation (3) est aussi racine de chacune des équations (2).

Si m et n sont premiers entre eux, les équations (2) ont la seule racine commune x =- 1.

219. Théorème. — Si m est un nombre premier et a une racine imaginaire de V équation x" — 1 =0, les m racines de cette équation sont

En effet, chacun de ces termes est une racine (217). Ces racines sont distinctes ; car si Ton avait a*» - a*»' , on aurait, en divisant par a^\ a*>-*»' 1 ; donc les équations j:"— 1 =0, x^-^' — 1=0 auraient une racine commune. Le p. g. c d. de m et h —h' étant 1, cette racine appartiendrait à Féquation jc — 1 = 0, ce qui est contraire à l'hypothèse.

220. Racines primitives. — On appelle racine m^ primitive de Vunité une racine imaginaire dont les m premières puissances reproduissent toutes les racines mes de l'unité. D'après ce qu'on a démontré tantôt, toute racine imaginaire de réquatioii x™ — 1 = est une racine primitive lorsque l'exposant m est un nombre premier. Quand m est un nombre composé, certaines racines sont primitives, et les autres sont non primitives.