RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE QUELQUES ÉQUATIONS BINOMES

Cette équation donne

i i y-Ti

d'où 3c=^l, x^^ ^

On vérifie aisément que les deux racines cubiques imaginaires de r unité sont, chacune, le carré de F autre \ nous les représenterons par ft et e^ Remarquons aussi la relation 1 4- e + e« = 0.

Pour obtenir les racines sous la forme « + /^ 1/ — 1, écrivons

A^ + 1 + 2x2 = 2x2, d»où x« + 1 -- à- X VY)

donc a; = -^ (i 1 ± \ — \)'

Après suppression du facteur x — 1 on obtient V équation

réciproque

x^ + X» + a;« + JC + 1 = 0,

que la substitution x H — -= z ramène à

On en déduit

- 1 zk [/^ ± l/— 10 ± 2 f/5

d'où X - :;

On trouve successivement

x« + 1 4- 2x* = 2jcS x^ + 1 - i- x»»^

±\2 ± i2 i:\/— 2 ±fï

Les doubles signes intérieurs sont conjugués.

A cause de x" = (x*)^, le premier membre est divisible par x^ -\-\] il reste donc à résoudre l'équation

Elle donne successivement

x« 4- 2x* + 1 ^ 3x^ x^ + 1 = rb x« l^ X* + 1 + 2x« =x2(2 ± /3), x2 + 1 = ± x^2 ± ys;

Les doubles signes intérieurs sont conjugués. 60 xi5 — 1 -^ 0.

Remarquant que x^^ - (x^)"^ = (x-'f, on trouve xi5 i -.. (x— 1)(x2 + a:+1)(x" + x« + x« + x»+ 1),

Xlû — 1 = (X — 1) (x^ + X» + X* + X + 1) (xio + x^ [- 1).

Sept racines de l'équation proposée sont données par les équations

X — 1 = 0, x2 + X -f 1 = 0, xM x^ + x^ + X + 1 ^ 0.

On obtient les huit autres racines en égalant à zéro les quotients

jçlg ^ ;c9 |, y6 | y3 ^ I X^^^ -[-. X^ + 1

égaux tous deux à

On a ainsi à résoudre une équation réciproque.