Remarques. — I. En attribuant à n les valeurs

0, 1, 2, ..., {ni-\\ (2)

on obtient m valeurs distinctes pour x ; car, les arcs

2ji An 2(m — \)n

mm m

étant moindres qu'une circonférence, deux quelconques d'entre eux, n'ont pas, à la fois, même sinus et même cosinus.

(•) Nous reprenons et complétons les notions développées au § 25.

II. Les autres valeurs de n font retomber sur des racines déjà trouvées. Car, une telle valeur est mq + n\ ri étant Tun des nombres (2) ; Tare correspondant de la formule (1),

a les mêmes lignes trigonométriques que Tare

III. Les valeurs de x répondant à deux valeurs de n dont la somme est m, sont imaginaires conjuguées: car les valeurs

correspondantes de Farc ayant pour somme 2ji, leurs

cosinus sont égaux, et leurs sinus ont deux à deux des valeurs symétriques.

On obtient donc toutes les racines de l'équation ;f™ — 1 = en attribuant, dans la formule

2njt . . 2njt X = cos i i sm

à n les valeurs

n = KJf 1, Zf ..., — r — ou H -^ Vf 1, Zf ..., -;r-,

suivant que m est impair ou pair. Dans le premier cas, une valeur réelle de x correspond à /2 = ; dans le second cas,

on obtient deux valeurs réelles en faisant n =^ ttn = -^,

IV. La somme des racines de Téquation Jc"" — 1 ^0 est nulle ; donc

1 + cos h cos h ... + cos - -^^ — -- 0,

sm h sm h ... + sm -^^ '— = 0.

mm m