Considérons maintenant l'équation

;c°» + 1 = 0, m étant pair. Soit encore x = r(cos ^ -\- i sin fi) ; alors

r™(cos /Tze -|- / sin /ne) = — l,

d'où résulte d'abord r"" -- 1, r -= 1 ; ensuite,

cos /we = — 1, /ne = 2(/î+l)7r.

Les valeurs cherchées de x sont donc

(2/Z + l)ji . . . (2/Î+ l)ji X = cos-^ — h i sm • — ^«

Cette formule donne m racines distinctes, si l'on fait

les autres valeurs de n reproduisent les mêmes racines ; enfin, deux valeurs de n dont la somme est /n — 1 donnent pour x des imaginaires conjuguées.

Facteurs trinômes de x" ± 1.

225. Si m est impair, les racines imaginaires de l'équation x° — 1 = sont données par la formule

Ifln , . . 2/2J7

X = cos + / sm

où n reçoit les valeurs 1, 2, ...,

Décomposons jc" — 1

en facteurs du premier degré, puis effectuons le produit de deux facteurs conjugués; nous aurons

(x-1) I x^ - 2XC0S— + 1

x2 — 2XC0S— +1

X» — 2x cos ^^ h 1

Semblablement, si m est pair,

X^ — 2x COS h 1

jc*— 2xcos - — h 1

jc* — 2jc COS ^^ — \- 1

Exercices et notes.