ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ ET DU QUATRIÈME DEGRÉ
Equation du troisième degré.
226. Méthode de Hudde (Amsterdam, 1633-1704). - En faisant disparaître le terme en x" on réduit Téquation du 3e degré (136) à la forme
x^ +px^ç=0. (1)
Posons X =y + z,y t\z étant deux inconnues auxiliaires ; l'équation devient
f + 3y'z^3yz' + z' + p{y + ^) +^ = 0, ^j,^ ou {y' -{-z' ^q) -^{y -\-z)Oyz +p) = 0.
Comme on dispose maintenant de deux inconnues y et z, on peut s'imposer une condition quelconque ; si Ton choisit
pour celle-ci que le coefficient de y-fz dans (1') s'annule, on est conduit au système
y3^2^^g--^0, 3yz + p = 0,
ou y^ -{- z^ = — Çf yz=— j-
Prenons pour inconnues y^ et z^ ; elles ont pour somme — g, pour produit — (§ ) > donc elles sont racines de
u' -\-çu — ^ =0.
Par conséquent
et
x-j' + z-XZ-^ + V 4+27+\/-2 VT'^27 ^'
227. Formule de Cardan (Pavie, 1501-Rome, 1576.) - Ce résultat est connu sous le nom de formule de Cardan, bien qu'il soit dû à Tartaglia (Brescia. 1500 ou 1501-Venise, 1557).
L'inconnue auxiliaire y a trois valeurs, que nous représentons par Ri, RiO, Ri6'^, o désignant une racine cubique imaginaire de Tunité; de même z a trois valeurs Rg, R26, R^e^
Comme on doit avoir yz -^ — ^, on associe deux valeurs
de j; et z ayan t un produit réel. Si Ri et Rj vérifient cette
. condition, de manière que RjRg ~= ^% l^s valeurs de jcsont
Xi = Ri -f R2, X, -- RiO + Rgô^, X3 = RiO^ + R2Ô.
La formule (2) envisagée dans toute sa généralité comporte neuf valeurs. L'introduction de six valeurs étrangères est due
à ce qu'on a remplacé l'équation J/^ = — ^ par l'équation
plus générale y'^ z^ - — ^ ; celle-ci contient les trois suivantes :
On obtiendrait les deux dernières si, dans l'équation (1), p était remplacé par pi) ou pd- ; donc les neuf valeurs de x résolvent les trois équations
x^ +px+ç^O, r^ -\-pOx+q^O, x' -\ pfi^^x + q --0,
contenues dans l'équation unique du Qe degré
(jc» + qf - — p^x\
On ne conserve que les solutions de l'équation (1) en écrivant
et en sous entendant que^ est remplacé successivement par les
Q \Iq P^
trois déterminations de la racine cubique de — ^ + 1/ j + ^y*
Neubero. - Algèbre. 14
