Discussion. — Nous distinguons trois cas

P ^ + ^>0. Dans la formule (2), les radicaux cubiques

portant sur des quantités réelles, prenons pour R,, R2 leurs valeurs arithmétiques. Les racines de (1) sont alors

■^1 ^ Ri + R2;

X, =- R,e2 + R,o - --(R, + R,) --(Ri - R,)V -3; la première est réelle, les autres sont imaginaires. 2^ ^ + ^ = 0. On a R, = R2 ; par suite

X| — ^i\[ , Xg = Xjj - — —' \\\»

L'équation a donc deux racines égales.

3^ ^ + ^7 <! 0- Les radicaux cubiques portant sur des

imaginaires, Ri et R. sont imaginaires. L'équation paraît donc avoir trois racines imaginaires. Mais on a vu (206) que les trois racines sont réelles dans l'hypothèse considérée.

On en conclut que les imaginaires se détruisent dans les valeurs de x^^ jc^, Xg. Cependant l'algèbre est impuissante à

ramener les expressions de jc„ x^, JC3 à la forme réelle ; c'est pourquoi le cas qui nous occupe, est appelé cas irréductible. Nous allons montrer comment, au moyen des fonctions circulaires, on peut obtenir les expressions réelles des racines.

Cas irréductible.