Seconde solution. — On a l'identité
sm a = 3 sm ^ — 4 sm' ^ .
Si sina est donné, cette égalité peut servir à déterminer sin ^; en posant sin^=y, on aura à résoudre l'équation
y'— 4 y + 4 sina = 0. ^ (4)
Les trois racines de cette équation sont réelles. En effet, les arcs qui ont même sinus que a sont compris dans les expressions 2n7i + a, {2n -\- l)jr — a, // étant un nombre entier quelconque. Comme Téquation (4) dépend de sina et non de Tare a, elle donne les sinus de tous les arcs de
, - 2nn + a (2n -h l)7r — a . ,, ,
la forme — t^ — ou ^ ^-^ ;si Ion remplace n successivement par 3n\ 3/?' + 1, 3/z' + 2, on trouve que y a trois valeurs différentes représentées par
sm^, sm — ^ — , sm ^ — . (5)
Telles sont les racines de Téquation (4).
Mais ces racines s'obtiennent aussi au moyen des tables trigonométriques, d'où une solution du cas irréductible.
Mnltiplions les racines de l'équation x^ -\- px \ ç ^ par une indéterminée k ; nous aurons l'équation
y' + pk^y + qk^ = 0,
que nous identifions avec l'équation (4) en posant
>^*'=~4» i7*^=^sina;
d'où *=^y/-|' sina^ly/-
Dans le cas irréductible, k est réel et la valeur de sina est comprise entre — 1 et 1. Les racines cherchées sont donc
232. Application. — Partager un hémisphère en deux parties équivalentes par un plan parallèle à la base.
Prenons le rayon pour unité, et soit x la distance du centre au plan cherché. Le segment compris entre ce plan et la base de l'hémisphère étant le quart de la sphère, on a
ou x^ — 3jc + 1 = 0. (6)
Cette équation rentre dans le cas irréductible, car
Si l'on applique la formule de Cardan, on trouve Posons (230)
— ~ ± -^ f^ = r(cos e + f^ sin e ),
d'où r cos ^ "^ — 9' /"sin e =- ■^}3,
/- = 1, cosô = — ■^, sine = -^1^3.
On peut donc prendre o -■= 120^ 120<> + 360^ 120^ + 720^ et la formule de Cardan donne pour x les valeurs
2 cos 40^ 2 cos 160« - — 2 cos 20^ 2 cos 280*^ = 2 cos 80^ En se servant des tables de logarithmes, on trouve ATi = 1,532..., X, = — 1,8793..., Xg - 0,3472...
La valeur Xg répond seule au problème proposé.
Si Ton multiplie les racines de (6) par une indéterminée ^ (231) et qu'on identifie la nouvelle équation avec l'équation (4), il vient
3k^ -- -r» *^ = -7 sina;
k=^, sina=^, a = 30^ 390^ 750".
Les racines cherchées sont donc
;c,=-^=2sinl0^JC2-2sinl30^»-2sin50^Jf3-2sin250«=-2sin70«;
elles se ramènent aux expressions trouvées ci-dessus.
Équation du quatrième degré
233. Méthode de Descartes. - Toute équation du quatrième degré peut être ramenée à la forme (136)
X' + Aa:* + Bjc + C - 0. (7)
Si Ton parvient à mettre le premier membre sous la forme d'un produit de deux facteurs du second degré,
il suffit d'égaler à zéro chacun de ces facteurs et de résoudre les équations ainsi obtenues. Identifions ce produit avec le premier membre de (7) ; le terme en x^ ayant un coefficient nul, on di p -\- p' -- 0. Nous posons donc
{x^'^-px + q) {x'—px + q')=x^ + kx^ + Bx + C (8)
On trouve facilement les égalités de condition
qJ^q^-p^ = K^ {q^-q)p==B, qq' == C.
Les deux premières donnent
substituant ces valeurs dans la troisième, on obtient
(p^-{-Ay-^ ^4C
ou p' + 2A>c?^ + (A* — 4Qp' — B* = 0,
et en posant /;* = z,
z^ f 2Az' + (A* — 4C) z — B* = 0. (10)
Telle est la réduite ou la résolvante de Téquation (7) Elle admet au moins une racine réelle de signe contraire à celui du dernier terme ; donc /? a au moins une valeur réelle.
