Application, x^ — 10a:' — 9x
On trouve
ç +^-/?'=- 10, ^-^=-|, qc( = 2;
d'où 2if =p'- 10 -^, 2^ = /;* - 10 + y La résolvante est donc
OU z^ — 20z« + 108z — 81 = Ô.
On trouve facilement la racine z = 9. Prenons /? = 3 ; alors
et l'équation (11) est ramenée aux deux équations
x^ — 3x — 2 = 0, x^ + Sx + 1 = 0.
Les racines cherchées sont donc
3 ± yï? — 3 i: 1 3
255. Remarques. — I. On voit facilement pourquoi la réduite est du 3e degré. En effet, soient a, /î, y, à les racines de réquation (7) ; comme x=^ + px-\- q donne deux de ces racines, p peut avoir Tune des six valeurs
-iy-^ài -(P + ô\ -ifi + y),
A cause de a f /S -f- y + d = 0, ces valeurs sont symétriques deux à deux; donc l'équation en p est du 6e degré et ne renferme que des puissances paires de p.
II. On peut exprimer a, /ï, y, ô en fonction des racines ^i, z.,, ^3 de la résolvante (10). En effet, supposons
a + /î - h \z^, a -f y ±\'z^, a + S -^ dr Yz^ (12)
ajoutant ces égalités et tenant compte de la relation « + /î + y+^ = 0; on obtient
Comme a est Tune quelconque des racines, la formule (13) doit donner les quatre racines, si Ton choisit convenablement les signes des radicaux. Or, le dernier terme de la résolvante est — B^ ; donc cette résolvante convient aussi à l'équation x^ + Ax^ — Bx + C = (*).
Pour voir quels sont les signes à attribuer aux radicaux dans les égalités (12), cherchons le produit (a-f ^)(a-t y)(a-f ^) ; en effectuant les calculs, on trouve
a3 + «^(^ + y + a) + a{^y + y(5 + pà) -^r M-
A cause de a + /î + }' + ^ = 0, ce produit se réduit à
aPy + ayà + a^à 4- pyô =- — B.
Donc, si B est positif dans Téquation (7), on prend, dans les égalités (11), Tune des conbinaisons de signes
et d'après l'équation (13), les racines de (7) seront
— |/ Zi — V Z, — \ Z.,, —\Z,^r i Z^ + }' Z3, + i Z,— ]' Zg + ]' Z3, +^ Z, + \ Z., — }/ Zg.
Si B est négatif, les racines seront
-\-^ zi + i z^ + y z^, ]' ^1 -- V ^2 — i ^3,
— y Zi + K Z2 — }/ ^3, —}/ Zy— }/ Zg + ]' Zg.
Ces développements supposent les valeurs de Zi, z,2Z3 positives.
III. Les quatre racines de l'équation (7) sont données par les deux équations du second degré
nous prendrons pour p la racine carrée positive d'une racine positive de l'équation (10).
L'équation (7) aura quatre racines réelles, quatre racines imaginaires ou deux racines réelles et deux racines imaginaires, suivant que la quantité p^ + 2kp est plus petite que + 2B, plus grande que + 2B ou est comprise entre + 2B et— 28.
(*) C'est la transformée en - x, qui admet évidemment les mêmes valeurs de p et dont les quatre racines sont également comprises dans la formule (13).
Deux racines de (7) sont égales entre elles, si Ton a /;•* + 2A/7 -= ( 2B ou — 2B ou si les deux équations (14) ont une racine commune.
Exercices et notes.
1. Résoudre l'équation x» -f jt* - 4jf + 1 = (230, 231). Les racines sont 1,377263, 1,651094, - 2,651093.
2. L'équation x^-\-px-{-q = Osi une seule racine de signe contraire à celui de son dernier terme. Pour calculer cette racine, on peut se servir
de la formule x —
. Si a est un nombre de même signe que - ^ et
tel, que a^ -\- p soit positif, la racine est comprise entre a et ai =
Soit b un nombre intermédiaire entre a et ai ; la racine est comprise
b ti bi= -
et ainsi de suite.
3. Soit x^ - px - q = une équation rentrant dans le cas irréductible. Deux des racines sont les limites des expressions indéfinies
yp+
La troisième a pour valeurs de plus €n plus approchées :
