Résoudre l'équation
AoX-^ + SAjA:^ + 3A,x | A3 == 0, en la ramenant à la forme a{x — ft)'^ -\- a\x — fi^y - 0.
On trouve les conditions a + a'=Ao, afi \ n'p'= — A,, n(?^a!fi''- A,, a/^^+a'/?'«=
Eliminant a et a' entre trois de ces équations, on obtient
^ fi' -A:
fi' fi" K
fi fi' K fi* fi'' -A3
OU après, suppression du facteur fi - fi\
Ao/?/î' + A,(^ -^ /;')+A, = 0, A,fifi' -\ A,{p + fi') + A3 = 0. (2)
L'équation du second degré ayant pour racines ^ et /}' est
x« xOî + n +^^ = 0. (3)
Si l'on élimine /?/?, fi + fi' entre (2) et (3), on trouve
A^ Aj A2 Al Aj A3
équation qui peut remplacer (3). En ajoutant à la 3* colonne la 2c multipliée par x, et à la 2c colonne la Ire multipliée par x, on obtient
AoX — |— A| AjJf |- A2 J\iX —Y~ A2 J\2X -\- A3
Le déterminant (4) est égal à
xy
F(x, ;f) désignant A^x'^^ 3A,x> 4- 3A«x/-f A.^ ; le déterminant (5) est appelé le hessien de F(x, y).
5. Résoudre l'équation du troisième degré par les fonctions symétriques.
(Méthode de Lagrange).
Soient jr„ x^, x^ les racines. La fonction jc, -f kx^ + BjCg prend six valeurs quand on y permute x^.^x^, jc,, de toutes les façons. Soient
tf=jCi H-Axj + Bxg, «1=^2 1 AX3 1-B.Vi, ^=^3 I Aa:, + Bx2, V'=jri-|-Ax3 4-Bx2, v^ = x^^+kx^-\ Bx,, i^^ --XgH- Axs + Bxj,
ces valeurs. Elles dépendent d'une équation du 6^ degré, qu'on sait résoudre quand elle est 2** - mz** -t- /ï = 0. Les racines d'une telle équation étant de la forme A, AO, k^\ ju, /iô, //O*, on est conduit à choisir A et B de manière que Ui = «6, Ut ^ u^^ ; on trouve A ^- 0-, 8 = 0. Pour ces valeurs, si l'on suppose // — v, on a i^o ^ kO, j^j = i/fj^. Les valeurs de m ti n sont
/n-w»+»''^ (Xi+0% fox3)3+fx, i-e^+ox»)^ /z - tt^V'^ = (x, {- o^x. h 0x3)^ (Xi + e-^Xg f exg)».
En tenant compte des égalités 0^ -^ 1, -f 1 ^ - 0-, on trouve
m = 22^^X1 — 92'x,2x,X2 f 27XjXoX3, n = (^^^^^ — Si^x^x^)».
Finalement Xi, Xx, X:» se déduisent des équations
3Ai
X\ F Xo "T~ X3 —
Xi - f o'^x. f exjj tt, Xi + 0x2 + 0-X3 = V.
6. Résoudre, par la trigonométrie, l'équation .r* 4- px -[- q=0^ dans dans le cas où une seule racine est réelle.
Si p < Of on pose x ^ l{\g(p -\- coigip), Ji et çp étant deux indéterminées. De là, l'équation
T^ - i^{tg^ <p + COtg^ 9? + 3 tg ç> -|-" 3 COtg 9?)
ou x3 — 3X^x — A»(tg'' (p -\- cotg^ (p) -- 0,
qu'on peut identifier avec la proposée. Les racines imaginaires sont
X =- X (6 tgtp + 0* COtg (p), X = X{fi^ tg ç? + e COtg (p).
Si/7 > 0, on fait x — i.{tg(p - cotg 9?).
Exemple : x^ - Zr - 2--0 ; Iz racine réelle est 1,7692Q2.
7. Les racines de x* -f- ax^ -f ^.r* i- fo? + rf- étant Xi , a?», .ra, .tu, les racines de la résolvante de Descartes (233) sont
Car on ramène l'équation à la forme ./'^ — Ax* -f- B^ 4- C en diminuant les racines de ^ Xvi ', les racines de la résolvante sont donc
— (^1 r- 4 -^^i) — (^2 — 4 -S«,), etc.
