Résoudre x* \- px' f ^x* f rx + S

par extraction de racine carrée. (Méthode de Ferrari, 1522-1562). Cette équation, écrite sous la forme

est résoluble immédiatement si r"^ =^ s{4q-p*). Dans le cas général, on ajoute aux deux membres 2( x* -f ^ x jjf -^/* , ce qui donne

x''\-^x+y) -f^-ç-] 2y)x'^ {py-r)x \ y-s. (3)

Déterminons y par la condition que le second membre de (3) soit un carré parfait ; on aura une résolvante du 3c degré en y. Remarque. - L'équation (3) se ramène à

Soient Xi et Xt ou Xa et Xa les racines de (4) suivant que l'on prend le signe + ou le signe — devant le second membre ; ce sont les racines de (1). On aura

py — r , py — r

d'où y = 2 {X\X'à + Xii Xa ). Cette expression de y prend trois valeurs

distinctes si l'on y permute JCi , Xa , Xs , X\ de toutes les façons ; donc^ est donné par une équation du 3e degré.

9. Résoudre l'équation (1) de l'ex. 8 par les fonctions symétriques. (Méthode de Lagrange.)

\o On forme l'équation auxiliaire qui a pour racines

les quantités y\ -\-yt+ y^ ^ y\yi -r y^y^ •\- y^y\ ^ yxy^yz se déterminent aisément en fonction de p^ q, r, s.

Il suffit de connaître une seule racine y\ de la résolvante. Car les produits Xx Xt , Xa x^ résultent de

on déduit ensuite les sommes Xi + Xg , Xs + X4 des égalités

(Xi+X2) + (X3 + Jf4) = — A X2^a{x,-V x.^ + x,x.(x^ + x^)^q,

2o On forme l'équation auxiliaire qui a pour racines (Xj -f- X., X.^ — X4) , (Xi -j- X3 — Xo — -^4)'; (^1 I «^4 «^2 «^a) •

10. Résoudre l'équation x^ -\- qx"^ -\- rx -\- S -= au moyen de la substitution x = y -]- 2. (Méthode de Francœur; Paris, 1773-1849).

Remplaçons x par ^ -f 2 et ordonnons le résultat par rapport à z :

z^ + 4f2« + {àf + q)z^ + (4/^ + 2qy + r)z )

f / I qy' t ry | 5=0. ) ^ ^

On obtient une équation bicarrée en z en égalant à zéro la somme des termes en r* et z, ce qui donne

4yz^ + 4y^ + 2^j + r = 0.

Tirant de là z^ pour substituer ta valeur dans l'équation (a), on aura

u^ + lu^ + r^l^a £!= " + 2 " + Vl6 4J" 64 "•

« remplaçant y'^ . Soient a^ , b^ , (f^ les racines de cette résolvante ; alors

fl* H- ^* -f- ^ = - -|-, abc = - -5-. La valeur de 2* en ;/, si l'on remplace q par - 2 (a* + ô* + i:*' ), r par - ^bc, y par i a donne 2 = ± (b + c). On en conclut que les valeurs de x sont

11. Résoudre l'équation x* -\- qx^ -\- rx -\- S =^ au moyen de la substitution .r = a -^ b -^ c. (Méthode d'Euler.)

On a ./• = 2a, x'- = 2a^ -l 22ab ou x^ - 2a' -= 22ab et en élevant au carré

X* — 2x^2a'' -\- 2a^ — 22!a'b' — 8abc2a = 0, ou x^ — 2x^2a^ — Sabcx + H^a' — ASa-b- ---- 0.

Identifions cette équation avec la proposée; il vient

2ar - — y <7, abc = — -g-r, ^^^û^ — A2a^b' =- s. Donc a* , ^* , r* sont racines de

Soient Zi , Zi , zx les racines de cette équation ; on aura

û = ± )^ b ^ ± )^, c= ± fT,, x=a + b \ c,

où les signes des radicaux sont à combiner de manière que abc = - ^ r

Si a\ b\ d désignent trois valeurs des radicaux pris avec ces signes, les quatre valeurs de x seront

fl' + 6' + â, a! — V — e, -a! ^b' - c\ - a' — b' + d.

12. Ramener l'équation du 4c degré à une équation réciproque.

On pose X — m -\- ny et l'on exprime que l'équation transformée en ;/ est réciproque. En éliminant n entre les deux égalités de condition, on parvient à une équation du troisième degyé eh m (*).

13. Résoudre l'équation A^X^ + 3k^X' -[- BA.X -j- A3 -- 0, lorsque AJ = AoAg (ou k\ = AjAg).

{•) Pour une interprétation géométrique de cette méthode, voir M athesis, t. I, p. 199 et t. II, p. 181.

Multiplions l'équation par AJ et remplaçons AqAo par Aï ; on aura

(A(,X -{■ Al)' = A| A1A3.

Le cas général se ramène au précédent : on remplace x par ?/ + A et l'on dispose de k de manière que la nouvelle équation rentre dans le cas particulier considéré. (Méthode de Twining).

14. Pour résoudre A,,X* 4 AA^X^ + ÙA^X'' -\- 4A3JC + A4 - 0, on écrit

À'x* H- 4AiX^ + 4A3X -- (A^ — Ao)x^ — àA,x'' — A,,

Les trois termes du premier membre font partie du carré de

, ^ , ZAï I XAv

ajoutons aux deux membres les termes nécessaires pour avoir dans le premier membre un carré parfait, et choisissons X de manière que le second membre soit également un carré, etc. (Méthode de Twining).

15. Résoudre l'équation jj^ i 3^''a7^2r* en posant ^' =^^ .(Mé-

thode de Viète; Fontenay-Ie-Comte, 1540-Paris, 1603).

16. Déterminer les coefficients b, c, d de l'équation a-' + baf- + ex -^ rf=0 de manière que les racines soient précisément ô, c, d.

Solutions:(0, 0,0), (1,-2, 0),(l,-l,-l),(A,— j[, — 2A + ^),

Où ,.;,./ 23+ ,513^ V/23-V 513

17. L'équation P^x^ + 4AiX-^ -f ÔA^X' h 4A,X i A4 peut se mettre sous la forme a(x -j^ ni)^ + a'(X -|- niy ^ si Ton a

Aj Ao A;j

18. L'orsqu'on veut ramener |/ A -h B V - là la forme j: -f .Vl - 1

sans faire usage de la formule de Moivre, on est conduit à une équation du troisième degré. (Remarqufr que A* -f B* = (a?* -f y^ ? .