SÉPARATION DES RACINES

237. Emploi du théorème de Sturm. — L'orsqu'on connaît les racines de la dérivée F'(x), le théorème de RoUe donne une méthode pour séparer les racines de F{x) (197).

Le théorème de Sturm permet aussi de séparer les racines;

mais les calculs sont pénibles. On remplace, dans la suite

de Sturm, x par — ^, 0, -\- c» ; le nombre des variations

de cette suite fait connaître le nombre des racines négatives

et celui des racines positives de F(x). Pour déterminer les

racines positives, substituons à x, dans la suite de Sturm,

les nombres 0, 1, 10, 100, ... jusqu'à ce qu'on atteigne la

limite supérieure des racines positives; nous saurons ainsi

combien F(x) a de racines dans les intervalles (0, 1), (1,10),

(10, 100) Substituons ensuite à x les nombres entiers

consécutifs, compris dans les intervalles utiles. Si les nombres

a et fl + 1 comprennent une ou plusieurs racines, rempla-

çons, dans la suite de Sturm, x par a, a \ -rrr, a -\ — r^, etc.

Et ainsi de suite. Nous arrivons ainsi à trouver deux nombres décimaux ayant une différence aussi petite qu'on veut, et comprenant une seule racine.

238. Méthode par substitutions successives. — Elle est plus simple que la précédente, mais imparfaite. Il suffit de nous occuper des racines positives, les racines négatives étant les racines positives de F{— x). Substituons, dans F(x\ à x des nombres compris entre et la limite L des racines positives; si cette limite est quelque peu grande, on commence par les nombres 0, 1, 10, 100, ... Lorsque deux résultats consécutifs de substitution sont de signes contraires, les valeurs correspondantes de x comprennent un nombre impair de racines de F(x). Il peut arriver que le nombre de ces intervalles où l'existence d'une racine est certaine, soit égal à la limite supérieure assignée par le théorème de Descartes au nombre des racines positives; dans ce cas, les racines sont séparées. S'il n'en est pas ainsi, on subdivise les intervalles, ou bien l'on a recours à d'autres procédés (l'étude de la dérivée, l'emploi du théorème de Rolle, etc.).

Un perfectionnement important de cette méthode est dû à Lagrange. Il consiste *à déterminer une limite inférieure -v du module de la différence de deux racines de F(^*) — ; cette quantité ô s'obtient au moyen de l'équation aux carrés des différences des racines de F (.r) = (180). Si l'on remplace .r par des nombres en progression arithmétique de

raison «, deux termes consécutifs de cette progression ne peuvent

comprendre plus d'une racine de F(./-) =- ; par suite, s ils en comprennent une, les résultats de substitution correspondants sont de signes contraires. En multipliant les racines de F(.r) — par ô, on obtient une équation dont deux racines n'ont jamais la même partie entière ; il suffit maintenant de substituer à .r des nombres entiers consécutifs, pour trouver des intervalles comprenant une racine de la transformée.