Exemples. - 1^ x^ — 5a
D'après le théorème de Descaries, l'équation a une seule racine positive et une seule racine négative. La règle de
Lagrange nous donne L= 1 | | 10 ou 4; le groupement X* + 5 (jc — 2) donne L' - 2. On trouve, pour
Il résulte de là que la racine positive est comprise entre 2 et 3, la racine négative entre — 1 et — 2.
20 jc4 + a:^ — 65a: + 5 = 0.
L'équation a deux variations, donc elle peut avoir deux racines positives. Elle n'a pas de racine négative.
En groupant ainsi : jc(x3 — 65) + x * + 5 = 0, on trouve L =- y65, soit L -- 5. Ensuite, pour
Les racines sont séparées : il y en a une entre et 1, une seconde entre 3 et 4.
D'après le théorème de Descartes, l'équation a deux racines positives ou n'en a pas; elle a une racine négative.
Le groupement x[x^ + 3jc — 17) + 5 donne
De — F(— X) = ;r(x2 — 3a: — 18) + (x— 5),
on déduit L' = 6. Le tableau :
révèle l'existence d'une racine dans chacun des intervalles
Pour déterminer la dernière de ces racines à moins d'un dixième près, on pourrait substituer, dans F(^), à x les nombres 2, 2,1, 2,2, ... jusqu'à ce que deux résultats consécutifs soient de signes contraires. On diminue ces essais en faisant une interpolation par parties proportionnelles (régula falsi), ce qui revient à admettre que les accroissements de F(x) sont proportionnels à ceux de x, tant que x varie entre des limites assez rapprochées. On a trouvé F (2) = — 9,
Neuberc- Algèbre, 15
F(3) - 8 ; si 2 + a est la racine, on a F(2 + a) = 0. De là, la proportion
F(3)-F(2) F(2 ha)-F(2) 3 — 2 2+ a — 2 '
donc approximativement a -- -j-=.
g Ainsi, la racine est sensiblement 2 j^ ou 2. 6. Comme
F(2, 6) = — 1,344 et F(3) -- 8, la racine est comprise entre 2, 6 et 3 ; enfin, de F(2, 7) = + 0,653 on déduit qu'elle est comprise entre 2,6 et 2,7.
Cette équation a une racine négative ; elle peut avoir deux racines positives. En écrivant x(x^ — 7) + 7, on trouve L = y7 et de - F( - ;r) = x^ - 7x - 7, on déduit L'= 1 + f7ou4.
Ensuite, pour
La racine négative est séparée. Quand aux racines positives, les substitutions ne nous apprennent rien. Cependant (206)
de sorte que les trois racines sont réelles. Il faut conclure de là que deux racines positives tombent dans le même intervalle. Ces racines comprennent une racine de Téquation
dérivée F(x) = 3x« — 7 = ; la racine x = + l/Z. de la
dérivée étant comprise entre 1 et 2, les racines de F(jc) = appartiennent à l'intervalle (1,2), et l'une d'elles est comprise
entre 1 et l/l, la seconde entre l/let2.
Déterminons ces racines à moins d'un 0,1 près. Comme
deux interpolations par parties proportionnelles conduisent aux valeurs approchées 1, 3 et 1, 7. On trouve ensuite
de sorte que les racines cherchées sont, à moins d'un dixième près par défaut, 1, 3 et 1, 6.
L'équation n'a pas de racine négative ; elle peut avoir une ou trois racines positives. La méthode par groupement des termes donne L = 2. Formons le tableau
Il en résulte qu'il existe au moins une racine dans l'intervalle (1,2); mais on peut aussi supposer soit deux autres racines réelles dans l'intervalle (1, 2) ou dans l'intervalle (0, 1), soit deux racines imaginaires. Considérons la dérivée
Ses racines étant imaginaires, F'(x) est constamment positive, F{x) constamment croissante ; donc l'équation F(x) = a une seule racine réelle, appartenant à l'intervalle (1, 2).
Calcul des racines.
240. Méthode de Newton. — Supposons qu'on ait déterminé une racine de F(x) = avec une certaine approximation, par exemple à moins de 0,1 près. Soient a la valeur approchée fl + A la valeur exacte de la racine ; h sera le terme de correction. On doit avoir
f(a -\- h) = F(a) + hf\a) + Y2 ^"^^^ + - = °-
Si la quantité h est suffisamment petite, les termes en h", h^, .. .seront généralement négligeables et l'on aura sensiblement
F(û) + AF'(a) = 0, ou * = -p^y
De là, la règle suivante formulée par Newton:
5/ a est une valeur approchée d'une radine de F(x) = 0,
on obtient généralement une valeur plus approchée en ajoutant à 2L la quantité — pTr^-
On admet en général que la méthode de Newton double le nombre des chiffres décimaux que renferme le nombre a \ soit Al le quotient ainsi déterminé et posons a ^ a -\- h^. On peut opérer sur a^ comme tantôt sur a et doubler le nombre des chiffres décimaux exacts de la racine. Et ainsi de suite.
Il est quelquefois préférable de prendre pour h une racine de
241. Interprétation géométrique. — L'équation y F(x) représente une certaine courbe A B (fig, 19) ; une racine de
Fig. 19.
Fig. 20.
l'équation f{x) = est Tabcisse du point B oii cette courbe coupe OX ; une valeur approchée a = OP correspond à un certain point A de la courbe. Menons la tangente en A, qui rencontre OX en C : la méthode de Newton revient à remplacer OB par OC, c'est-à-dire Tare AB par la tangente AC
En effet, l'équation de la tangente au point A(fl, F(û)) est
Y — F(fl) = f\a) (X — fl) ;
d'où la sous-tangente X — a= —
F(fl) .
F(fl)'
PC est donc le terme
de correction de Newton.
Cette interprétation géométrique montre que la correction de Newton peut éloigner plus de la racine cherchée que la valeur a (fig. 20), et même donner une valeur s'éloignant plus de cette racine que a et dans le même sens.
242. Cas où la méthode de Newton peut être appliquée avec certitude. — Soient a tib^ a deux nombres comprenant
une racine de F(x) = 0. Cette racine étant désignée par a -{-h ou pdiv b — k, où h et k sont des nombres positifs moindres que b — a, on a
Fia + h) = Fia) + AF'(a) + ^ F'(a) + ... = 0,
F(ô - *) = F(b) — kF\b) + Y2 F"(*) — - - 0-
On admet, sans démonstration, que ces égalités se réduisent sensiblement à
F(fl) + AF'(fl) = 0, F(6) — kF\b) = 0,
de sorte qu'approximativement,
Il résulte de là que, si h est négatif, on ne peut réduire réquation F{a + A) - à F(û) + hF\a) = ; de même la valeur de k est inadmissible si elle est négative. Il faut aussi rejeter les valeurs (1) si elles sont supérieures à la différence b — a.
La méthode de Newton présente donc une grande incertitude. Voici un cas assez étendu où elle peut être appliquée sans mécompte.
On connaît deux nombres a ti b qui comprennent une racine, et une seule, de F(jc). Sur la courbe y = F(x), il correspond aux abcisses OA' = a, OB' = b deux points A, B situés de part et d'autre de OX, car F{a) et F(ô) sont de signes contraires. Supposons que l'arc AB ne présente ni point maximum ni point minimum ni point d'inflexion. Alors la dérivée F'(x) ne s'annule pas dans l'intervale (a, b) et va constamment en croissant ou en décroissant La figure peut présenter quatre dispositions.
Dans la figure 21, l'arc AB est constamment concave vers Iç haut ; le coefficient angulaire F'(x) de la tangente va en croissant, donc F"(x) est positive. Si l'on applique la méthode de Newton à la valeur approchée 6, on est sûr que la valeur de la racine qui en résulte est plus approchée que b] car la tangente en B passe entre la courbe et l'ordonnée BB', et OC approche plus de la valeur exacte OD de la racine que OB'.
Dans la figure (22), l'arc AB est constamment convexe vers le haut ; comme F'(^) va en diminuant, F"(^) est négative. La
Fig. 21.
Fig. 22.
• E Ay
tangente en A passe entre l'ordonnée AA' et la courbe ADB; donc si Ton remplace Tare AD par la tangente AQ on obtient une valeur OC qui approche plus de la racine OD que OA'= a.
De même, dans les cas représentés par les figures 23 et 24, il convient d'appliquer la méthode de Newton respectivement
Fig. 23.
Fig. 24.
aux valeurs approchées 6 et a ; dans la figure 23, la dérivée F"(x) est négative, et dans la figure 24 elle est positive pour les valeurs de x comprises entre a et b.
Dans les quatre cas, l'une des valeurs approchées û, b jouit de la propriété que, si on lui applique la méthode de Newton, la nouvelle valeur approche plus de la racine que la valeur d'oii l'on part. Cette valeur est celle qui donne le même signe à F(x) et F"(x).
Pour fixer les idées, considérons la figure (21). Nous appliquons la méthode de Newton à la valeur approchée b ;
