OC

la nouvelle valeur approchée sera b^ — b — -p . ,

On peut évaluer l'erreur que l'on commet en prenant ô, pour

la racine cherchée. Menons la corde AB qui coupe OX en E; OD est compris entre OE et OC Donc Terreur commise en adoptant OC pour OD, est moindre que EC = OC— OE. OE est la valeur résultant d'une interpolation par parties

proportionnelles, car jj^, --= ^,^ ^ g,g '

Soit CF l'ordonnée élevée en C; menons la tangente FI. Si Ton applique une seconde fois la méthode de Newton à la valeur OC qui est donnée par une première application de cette méthode, on trouve 01 pour valeur de la racine cherchée. On voit que la règle étant appliquée plusieurs fois de suite dans les conditions indiquées, on approche de plus en plus de la racine.

Exemple. x^ — 2x — 5 = 0.

Cherchons la racine positive (unique) de cette équation. Une limite est L - 1 -4- v' 5 ou 4. Formons le tableau

on voit que la racine est comprise entre 2 et 3, et est sensiblement égale à 2 y=- Or F(2, 1) = 0,061; donc la racine

est comprise entre 2 et 2,1.

On a

F'(x) a un signe constant dans l'intervalle (2, 2,1) et F"(x) a le même signe que F{x) pour x=2,l. Donc on peut appliquer avec certitude la méthode de Newton en partant de la valeur approchée 2,1.

Le terme de correction de Newton étant

la valeur approchée correspondante est 2,1 - 0,00543...=2,09456...

Soit 2,1 — k la valeur résultant d'une interpolation par parties proportionnelles entre 2 et 2,1 ; on aura

d'où la valeur approchée

La valeur exacte de la racine cherchée est comprise entre les valeurs approchées 2,09456... et 2,0Q425 que donnent la méthode de Newton et l'interpolation par parties proportionnelles. La première valeur 2,09456 ... comporte donc une erreur moindre que la différence entre les deux valeurs ou moindre que 0,0003 ....

Appliquons une seconde fois la méthode de Newton, en partant de la valeur approchée a = 2,094 ; le terme de correction est

F(fl)" 11,154508 ^,^^^33.-.

D'où la seconde valeur approchée 2,094 - 0,00055... = 2,09445. Et ainsi de suite.