Séparation des racines par la méthode de Newton

Soient a et /î (a <^ /î) deux valeurs de x qui donnent à f(x) le même signe, par exemple le signe + ; ils comprennent un nombre pair de racines de f(x) ou n'en comprennent aucune.

Si la dérivée F(x) a un signe constant dans l'intervalle (a, /î), la fonction f(x) est constamment croissante ou décroissante et n'a pas de racine comprise entre a et /î. Elle n'en a pas non plus lorsque la dérivée f\x) est positive pour x =- a, négative pour x = yî et n'a qu'une seule racine dans l'intervalle

Admettons maintenant que F'(x) ait une seule racine comprise entre a et /î, et que F'(a) < 0, F(P) > 0. Considérons la courbe dont l'ordonnée est f(x) ; soient A et B les points qui ont pour coordonnées a = OA', A'A = F(a) et /î = OB', B'B -- F(yî). La tangente en A rencontre l'axe des x en un point C situé à droite de A'A, et la tangente en B coupe cet arc en un point D situé à gauche de B'B ; ces deux droites se coupent en un point T.

Si le point T est situé au-dessus de OX ou sur OX, l'arc AB, qui est concave vers le haut, ne rencontre pas OX entre les

points A', B' et l'équation F(jc) = n'a pas de racine dans l'intervalle (a, fi). Or, les sous-tangentes A'Q B'D ont pour

valeurs absolues —J^, ^^tL et la somme de ces valeurs est

évidemment supérieure ou égale à A' B' ; donc l'hypothèse que l'on vient de considérer, exige

Supposons ensuite le point T situé au-dessous de OX, ce qui correspond à l'inégalité

f\fi) F(a) ^ ^ •

Nous ne pourrons rien affirmer sur l'existence ou la nonexistence de deux racines entre a et fi. Mais on pourra opérer sur les quantités

OC - a, =- a — pTTjy, {JD = (i^ = /> ~~FW

comme sur a et /8, et continuant ainsi, on arrivera souvent, après un très petit nombre d'essais, à reconnaître si les limites a ti fi (ou a^ et fi^ ou n^ et/îg....) ne comprennent aucune racine, ou si elles en comprennent deux ; dans le dernier cas, on aura approché des deux racines à la fois, et la substitution d'une quantité intermédiaire entre les limites a^ et fin donnera à Y{x) le signe — ; les deux racines sont alors séparées.

244. Méthode de Lagrange. - Soient a, a + 1 deux nombres entiers consécutifs qui comprennent une seule racine de

de l'équation f(x) =- 0. Désignons cette racine par x a ^ — ;

JCi est un nombre supérieur à l'unité, donné par l'équation

fia^ j -= 0, ou fy{x^) 0. Celle-ci ayant une seule

racine plus grande que 1, la substitution des nombres 1, 2, 3, ... dans F,(Xi) fait connaître la partie entière de Xi ;

si Fi(fli) et Fi(ûi -f" 1) sont de signes contraires, nous poserons JCi - fli -\ , etc. La racine se présente donc sous la

forme

X = fl + — 1

Supposons maintenant que les nombres a, a -\- l comprennent deux racines x^ jc*. L'équation Fi(jc,) = aura deux racines plus grandes que Tunité. Si la substitution des nombres 1, 2, 3, ...dans Fi(Xi) fait reconnaître que x^ a une valeur comprise entre a, et a, + 1, une autre entre a\ et a\ + 1| on pose

Xz et x'g étant respectivement la seule racine supérieure à l'unité, des équations

Le calcul se continue sur chacune de ces équations comme ci-dessus. Si l'équation Fi{x) = a deux racines comprises

entre a^ et ûi + 1| l'équation Fj fui -\ j = aura deux

racines supérieures à l'unité. Les racines finiront par se séparer Supposons qu'en substituant dans F(x) les nombres

a, a+-, a +-, fl+-,..., a +— jj— , a + 1,

on trouve deux fois des résultats consécutifs de signes contraires, de manière à séparer les racines x, x*. Dans ce cas, multiplions les racines de F{x) ^ par n ; les produits nx, nx' n'auront pas même partie entière et l'on pourra opérer comme dans le premier cas.

Ces développements suffisent pour donner une idée de la méthode de Lagrange.

Exercices et notes.