RATIONNELLES

Préliminaires.

Ax) 245. Une fraction pj-^ est dite rationnelle (3), lorsque ses

deux termes sont des fonctions entières. Nous supposerons la fraction irréductible, le numérateur d'un degré inférieur au degré du dénominateur et le premier coefficient de F(x) égal à l'unité. Si /(x) était d'un degré égal ou supérieur, on diviserait /(x) par F(x), et Ton mettrait la fraction proposée

SOUS la forme Q -|- ^y-^r Q étant un polynôme entier et

<p(x) étant d'un degré moindre que F{x), Nous nommerons fractions simples les fractions de la forme

A A A;c + B Ax+B

X — a (AT-fl)"' {x-ay-^p^' [(a: - a)2 + ^2]° '

A, B, a, a, fi étant des constantes, et n étant un nombre entier positif.

Toute fraction rationnelle peut se décomposer en une somme de fractions simples. Pour établir cette proposition, nous considérons séparément le cas où le dénominateur F{x) n'a que des facteurs premiers inégaux, et celui où il admet des facteurs multiples. Nous montrerons ensuite comment il convient de modifier la décomposition, lorsque F{x) a des racines imaginaires.

Cas des facteurs inégaux.

246. Méthode des coefficients indéterminés.— Soient a, 6...,/ les m racines, supposées distinctes, de F(;c), en sorte que

F{x) = {x — a){x — b) ... (jc - /). (1)

On peut toujours déterminer des constantes A, B, Q..., L telles, que Ton ait identiquement

En effet, cette égalité donne

+ B(jc — a) (X — c) (x — t)

+ L(x — a)(x — b) (X — ky

Le second membre se ramène à un polynôme de degré m — \] par hypothèse, f(x) est au plus de ce degré. Si donc on égale les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres de (2), on aura m équations du premier degré, entre les m inconnues A, B,... L

Il reste à démontrer que ces équations forment un système compatible et déterminé. La méthode suivante nous dispense

d'examiner le système; elle fournit aussi un procédé très simple pour déterminer directement chaque inconnue.

247. Calcul des numérateurs. — Les deux membres de (2) doivent être identiques ; donc ils ont la même valeur pour x= Gf par suite

fia) = A(a - b) {a -c) ... {a - l), (3)

d'où Ton tire pour- A une valeur finie et déterminée. On trouve de même B en remplaçant x par ô, C en remplaçant X par Cf etc. Portons ces valeurs de A, B,... L dans l'égalité (2). Les deux membres prendront des valeurs égales pour les m valeurs X = a, 6;.., /; comme ils sont au plus de degré m — If ils sont identiques (121).

248. Remarque. — En dérivant l'égalité (1) on obtient F(x)=(x-6) (x-c).,. (x-/) f (x-a) {x-c),.{x-l) -h ....

et en remplaçant x par a,

Des égalités (3) et (4), on conclut A ^ p, ' ; les coefficients A, B, ... ont donc la forme suivante :