Exemple. — Décomposer en éléments simples la fraction

En effectuant la division du numérateur par le dénominateur, on trouve pour quotient 2x -\- 1, pour reste 5x- — 15x -|- 4.

Le dénominateur étant égal à (x— 2) (x— 1) (x+ 1), posons 5x- — 15x + 4 A , B , C

(x— 2)(x— l)(x+ 1) x—2 ' x — l "^ x+1' en chassant les dénominateurs, on obtient 5x2-l5x+4-^A{x*-l) + B(x-2)(x+l)+C{x~2)(x-l). (5)

Identifiant les deux membres de (4) on trouve A -I- B + C = 5, B + 3C = 15, — A — 2B + 2C = 4.

Ce système d'équations a pour solution

On arrive plus rapidement au résultat en remplaçant, dans les deux membres de (5), x successivement par 2, 1, — 1. Enfin, pour appliquer la méthode du § 248, on substitue les nombres 2, 1, — 1 dans la fraction

La fraction proposée prend donc la forme

Cas des facteurs égaux.

250. Pornie de la décomposition. ~ Supposons F(x) de la forme (x — a)« Fj (x), F, (x) étant une fonction entière qui ne contient pas le facteur x — a. On a identiquement

f(x) ka m-kafA^)

(x— a)aF,(x) (x — a)» (x— a)aF,(x) '

car si Ton fait la différence des deux 1res fractions, on trouve la 3«. Déterminons Aq par la condition que le numérateur de la dernière fraction soit divisible par x — a ou s'annule pour X = û ; nous aurons

^ ~ Fi(a) '

valeur finie et déterminée, puisque f{a) ' et F, (a) /-- 0.

Divisons /(x) — ka F^ (x) par x — a ; soit /, (x) le quotient. L'égalité (6) prend la forme

m ka /i(x)

(X— fl)aF,(x) (X — a)« (X— û)a-iFi{x)

Donc, la fraction proposée est décomposable en une fraction

ka simple de la forme , et en une nouvelle fraction ration-

nelle dont le dénominateur ne renferme plus que la puissance (a — \) du facteur (x — a).

Par analogie:

fAx) (x-c)«-'Fi(*)

fAx)

Aa-i

Âi^)

{x — a)c-^ (x— fl)«-2 Fi(Ar)'

Aa

(x— û)a-2Fi(x) (x— a)«

/sW

(jf— c)«-3F,(x) '

Al ^/aW

Donc /(x)

fa-Ax) (x-fl)Fi(jf) X — c ' F,(x)

Aa , Aa-1 Ai fa(x)

x—a Fi(x)

(A:-a)aFi(je) (JC — fl)« (x-c)a-i Si F,(j(:) = (jf — ô)/'F2(;if), on trouve, de la même manière,

Mx)

Et ainsi de suite.