Théorème. — Une fraction rationnelle W(\> dont le

dénominateur est- égal à (x — a)« (x — h)^...{x — l)^,etdont le numérateur est de degré moindre que le dénominateur, est décomposable en éléments simples selon la formule

Al I Aj I

-rrz — ::Tî~r-

'iS

(x-bf

et cette décomposition ri est possible que d'une seule manière. La première partie du théorème a déjà été démontrée (250).

Pour établir la seconde, observons d'abord que toute décomposition de yrrr en éléments simples ne peut comprendre que des fractions ayant pour dénominateur une puissance de x — a, x — bf,.. ,x — /. Car, si une décomposition comprenait

N. N, Nv

x—n {x — ny {x-ny

. où n serait différent de a^ b, ,,., l, on pourrait réduire la

somme (A) en une seule fraction de la forme , N dési-

(x-ny

gnant un polynôme au plus de degré v — 1 ; d'après cette décomposition, ^-y aurait une valeur infinie pour x =- /z,

ce qui exige que F(jc) renferme le facteur x—n. Supposons ensuite qu'il existe la décomposition (7) et une seconde décomposition

x—a (x—ay (^-û)a x — b

Je dis que a = a', Aq = A'^'. En effet, si a > a', égalons

les deux décompositions après les avoir multipliées par (x — a)a] il vient

Cette égalité est impossible ; car le premier membre, pour jc == a, se réduit à Aq, tandis que le second devient nul.

On démontre de même qu'on ne peut avoir a' ]> a. Si, dans l'égalité (8), on suppose a =-- a', et qu'on fasse x = a, on trouve Aq = A'q.

Supprimons maintenant dans les deux décompositions la

Aa fraction commune ; les restes étant égaux, on voit,

(x-a)a en raisonnant comme tantôt, que Aa-\ = A'a i . Et ainsi

de suite.